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最短路径问题上课用强烈推荐


的同侧,如何在BC上找到 一点R,使PR与QR 的和最 小”.
若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离 和都大于AC +BC,就说明AC + BC 最小.
A
·
C′ C
B
·
l
B′
回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的?
轴对称
A
·
C′ C
B
·
l
B′
(造桥选址问题)如图,A.B两地在一条河的两岸, 现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线, 桥要与河垂直)
练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返 回P 处,请画出旅游船的最短路径.
C
山Q
河岸
P
A
大桥
B
基本思路:
由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为
一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
因材教育
温故知新
如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选 走哪条路最近?你的理由是什么?
C ①D E
A

B
两点之间,线段最短

F
要在河边修建一个泵站向张村引水,在何 处修建才能使所用引水管道最短?为什么?
张村
泵站
河流
垂线段最短
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问
你能利用轴对称的有关
A
·
知识,找到上问中符合条件的
点B′吗?
B
·
l
如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个 动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
作法: (1)作点B 关于直线l 的对称
点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交
于点C. 则点C 即为所求.
B
·
A
·
题”.
已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上 求一点P,使得PA+PB最小。
A
为什么?
P
l
B
连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求
探索新知
问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题:
从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短?
B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;
·B

l
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上 面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图).
A
a
M
b
N
B
作法:1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2.连接AB交河对岸于点N, 则点N为建桥的位置,MN为所建的桥。
证明:由平移的性质,得 AM∥A'N 且AM=A'N, MN=M'N', 所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN, 若桥的位置建在N'处,过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N'.BN', 则AB两地的距离为: AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B, 在△A'N'B中,∵A'N'+N'B>A'B, ∴A'N'+N'B+MN>A'B+MN, 即AM'+M'N'+N'B >AM+MN+BN 所以在点N的位置建桥MN,AB两地的路径AMNB最短。
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”.
你能将这个问题抽象为数学问题吗?
B A
l
这是一个实际问题,你打算首先做什么?
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. ·B
A· l
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? (1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,
A
M
N
B
我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N 为直线b上的一个动点,MN垂直于直线b,交 直线a于点M,这样,上面的问题可以转化 为下面的问题:当点N在直线b的什么位置时, AM+MN+NB最小?
A
a
M
b
N
B
由于河岸宽度是固定的,因此当AM+NB最 小时,AM+MN+NB最小。这样问题可转化 为:当点N在直线b的什么位置时, AM+NB最小。
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
B
·
A
·
l C
B′
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接A质知,
BC =B′C,BC′=B′C′. A
∴ AC +BC
·
= AC +B′C = AB′,
C′
AC′+BC′
C
= AC′+B′C′.
在△AB′C′中,
AB′<AC′+B′C′,
∴ AC +BC<AC′+BC′.
即 AC +BC 最短.
B
·
l B′
证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′ +BC′?这里的“C′”的作用是什么?
B A
C
l
如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一 个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
如何将B“移”到l 的另一
A
侧B′处,满足直线l 上的任意 ·
一点C,都保持CB 与CB′的长
度相等?
B
·
l
如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一 个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?
A
a
M
M'
A'
N'
b
N B
将AM沿与河岸方向垂直的方向平移,点M移动 到点N,点A移动到点A',则 AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为: 当点N在直线b的什么位置时,A'N+NB最小?
A A'
a
M b
N
B
回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的?
平移
勇攀高峰
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