所以 （全等三角形对应角相等）
（全等三角形对应边相等）
因为 （已知）
所以 （等量代换）
所以 （大边对大角）
因此 （等量代换）
例5△ABC中，AD是∠A的平分线， .说明 的理由.
解:根据 ，延长AC至E，使 ，连接DE.
因为AD是∠A的平分线（已知），
所以 （角的平分线的意义）.
在△ADB与△ADE中，
所以
练习17.8(2)答案
1.提示：可以说明 ， ，则 ，
2.提示：延长AD至F，使 ，连接EF，则△FDE≌△ADB， .又 ，得 ，即 ，则 ，得 .
3.提示：延长CB至D，使 ，则 .又 ，所以
，则 .
第四节三角形的不等关系
17.8三角形的不等关系
练习17.8(1)
1.在锐角△ABC中， ，且最大内角比最小内角大24°，求∠A的取值范围.
2.如图，在四边形ABCD中，已知 ，说明 的理由.
3.如图，点D、E是△ABC内任意两点，说明 的理由.
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D在BC上， ，P是AD上的任一点，说明
的理由.
练习17.8(2)
1.△ABC中， ， ，则∠A的取值范围是多少？
2.如图，在△ABC的BC边上截取 ，连结AE、AF.说明 的理由.
第四ห้องสมุดไป่ตู้三角形的不等关系
17.8三角形的不等关系
我们已经知道的三角形中的不等关系有:
（1）三角形任意两边之和大于第三边；（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例1如图17.8.1，D为△ABC内任意一点，比较 与 的大小.
解:延长CD交AB于点E.
在△ACD中， （三角形任意两边之和大于第三边），
①+②得 （不等式性质）.
练习17.8(1)
1.如图，线段AC、BD相交于点O，说明 的理由.
2.已知P是△ABC内一点，说明 的理由.
3.说明三角形内任意一点到三个顶点的距离之和小于周长而大于半周长的理由.
问题
三角形的边与边之间的关系与相应的角与角之间的关系有无联系呢？
探索
（1）任意画一个△ABC，测量边AB和AC的长度.
3.如图，M是△ABC中∠BAC的平分线上任一点， ，说明 的理由.
4.如图，AM是△ABC的中线， ， ，说明 的理由.
练习17.8(1)答案
1.因为 ，所以 .
设 ，则 ， .
所以有 ，
解得 ，因此 .
故
2.因为 ，
又
两式相加得，
所以
3.延长BD交AC于M，延长DE交AC于N，
在△CEN中， ，
在△DMN中， ，
在△ABM中， ，
三式相加得， .
4.作点B关于AD的对称点 ，连结 交PC于E，连结 ，由轴对称图形的性质有：
， .
在△AEC中， ，在 中， ，
所以 ，
所以
练习17.8(2)答案
1.由 得 ，又 ，所以 ，故 .
2.如图，取BC中点O，连AO，并延长至 ，使 .连 、 ，因 、 ，故 .又 ，故 ，有 .同理 .注意到E点在 内部，故 ，即 .
所以在△ADB≌△ADE（SAS）
所以 （全等三角形对应角相等），
（全等三角形对应边相等）.
因为 （三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），
所以 （等量代换）.
所以 （大角对大边）.
因此 （等量代换）.
练习17.8(2)
1.△ABC中， ， ，AB、AC的垂线平分线分别交BC边于D、E两点，说明 的理由.
即 ①
在△BED中， ②（三角形任意两边之和大于第三边），
①+②得 （不等式性质）
即 .
例2如图17.8.2，△ABC的外角 的平分线CE交BA的延长线于E，请说明 与∠B有怎样的大小关系，并说明理由.
解:图17.8.2中， （三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），同理 .
因为CE平分∠ACD(已知)，
想一想
可以通过延长较小边来说理吗？
由此，我们有以下结论：
在一个三角形中，较大边所对的角较大，较小边所对的角较小.
在一个三角形中，较大角所对的边较大，较小角所对的边较小.
例4在△ABC中， ，D为BC的中点，说明 的理由.
解:延长AD至E，使 ，连接CE.
在△ADB与△EDC中，
所以△ADB≌△EDC（SAS）
2.如图：D、E是等腰△ABC底边BC上的两个三等分点，说明 的理由.
3.△ABC中，若 ，说明 的理由.
练习17.8(1)答案
1.提示：在△ABO中， ①，在△CDO中， ②，①＋②
得 （不等式性质）
2.提示：延长BP交AC于D， ，同理， ，因此 .
3.提示：因为 ， ， ，
所以
因为 ， ，
所以
（2）测量 和 的大小.
（3）AB与AC的大小关系如何，∠C与∠B的大小关系又如何？
同学之间交流一下各自的结果.
通过测量，我们可以发现在AB＞（或＜)AC的情况下，我们∠C＞（或＜）∠B.
你能说明它的正确性吗？
不妨假设 ，则在AB上截取AD，使 ，连接CD.
，因此 ， ，得 ，而CD在 内部，
所以 ，即 .
所以 （角的平分线的意义）.
所以 .
因此 （不等式性质）.
例3如图17.8.3，在△ABC中，AD是高，AM是中线.试说明 的理由.
解:因为AD⊥BC(已知)，
所以 ①（垂线段最短）.
在△AMC中， （三角形任意两边之和大于第三边）.
又AM为中线（已知），
所以 （中线的意义）.
所以 ②（等量代换）.
3.设法直接作出 及 这两个差所对应的线段，并将它们集中在一个三角形中或集中在便于比较的位置上，无疑角平分线为这提供了便利.
因为 ，故可在AB上取一点D，使 ，则 .连接DM.因
，AM公共， ，所以△ADM≌△ACM，有 ，故有
，即 .
4.依题设， ，ME⊥MF，又 ，若延长FM至G，使 ，即可得到 ，并有△MCF≌△MBG在△BGE中则集中BE及分别与EF、FC相等的线段，便可利用同一三角形中不等关系使命题获证.