例2：用静力法求图示体 系的临界荷载。EI=∞
k(1 2 )
B’
2
k(3 2 )
C’
•两个自由度，取△1 △ 2
为位移参数，设失稳曲
A
1
1
2
3
P
线如图。
lB
lC
l
D
•分析受力列平衡方程：
整体：
CD :
MA M C

0 P 2
RD 0 k(3 2 )
22
MA=kθ
P
弹性应变能
U

1 2
M
A

1 2
k
2
荷载势能: UP Pl
B B´ λ

U
U
P

1 2
(k
Pl )
2
应用势能驻值条件:
d


1 2
Pl
2
0,得:(k Pl) 0
d
θ
位移有非零解则:
P k l
EI=∞ A
势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件. k
l
第十六章结构稳定计算
1
§16-1 两类稳定问题概述
1、平衡状态的三种情况 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。 中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间过渡状态。
不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。
2、失稳:结构稳定平衡状态发生改变。 随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡
•对于分支点失稳问题，当施加载荷小于临界载荷时，稳定的 （直线）平衡形式是唯一的平衡形式，不稳定的（微弯）平 衡是不能维持的，或者说实现稳定的微弯平衡对于载荷是有 条件的。稳定分析的方法是假设平衡形式已发生转变或在临 界状态具有二重性，在新的变形后的几何位置上建立平衡方 程或与之等效的能量原理，以此得出维持新的平衡形式对于 载荷需要满足的条件，载荷所需满足条件的最小值称为临界 载荷。需要注意的是根据小挠度理论求得的载荷所需满足的 条件是不真实的且往往是不连续的，但其所得临界载荷是有 效的。
y
x l, y 0, y0.
P
B cosl R 0
EI
B,R非0条件：
sinl cosl
l 1
0
P tgl l
(l)min 4.493
Pcr

(4.493)2
EI l2
x 15
§ 16-4 弹性压杆的稳定——能量法
静力法解题思路： 1）对新的平衡形式列平衡微分方程； 2）解平衡微分方程； 3）代入边界条件，得到包含待定参数的齐次方程组； 4）令齐次方程组的系数行列式等于零，由此得到特征方程。
16 3l

12 l
EI
2
.
误差为 22%
l
条
件
。因
甚为
至所
相设
差挠
甚曲
y
远线 ，不
故满
精足
度力
较的
差边
。界
17
另解：位移边界条件为：
x
P
当 x=0 和 x=l 时，y=0
2）设失稳曲线为正弦线
l
y

asin
x
l
,
y
a
l
cosx

P 2

k l
1
(22

1 l
,2

1
1) 0 0
l
2
,3

2 l
k l
1

(P

2
k l
)2

0(1)
AB :
M
B

P1

k (1
2)

P1

k l
(21

2)

0

0
(P

2
k l
)1

k l
2

0(2)
k l P 2k l 0
y

a1
4x(l l2
x)
,
y

4a1(l 2x) l2
,
y


8a1 l2
U

1 2
0l
EI
(
y
)
2
dx

32
EIa12 l3
,
EI
U
P


P
1 2
0l
(
y)
2
dx


8Pa12 3l
由
0,得:
a1
(
64 EI l3
16 P 3l
)a1

0
a1

0
Pcr

64 EI l3
•由位移参数不全为零得稳定方程：
P 2k l k l
解得：P1

k l
3k P2 l ,
k Pcr P1 l
13
用能量法求图示体 系的临界荷载。 EI=∞
k
( 1


2
)
B’
2
k
( 3


2
)
C’
•两个自由度，取△ 1 △ 2
为位移参数，设失稳曲
A
1
1
2
3
P
线如图。
lB
4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳 问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研 究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上 限考虑。
以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。
6
§16-2 有限自由度体系的稳定——静力法和能量法
静力法：考虑临界状态的静力特征。
5
对比大挠度理论和小挠度理论结果的几点结论和认识：
1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值 点失稳。
2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉 点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径， 但 平衡路径上出现极值点。
3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小 挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得 出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。
•列变形状态 的平衡方程
y1
Bk
R1=ky1
y2
kC
R2=ky2
Dλ P YD=Py2/l
M
C左
C
0ky1l
(
Py1 l
)2l

Py2

0
(kl2P)y1 Py2 0 （a）
M
B右
B
0
ky2l
(
Py2 l
如•如果果系系数数行行列列式式≠=00
y1，y2为不零为，零对，应对应 原新始的平衡形式。
但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种， 要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载
MA=kθ
之间的关系。
9
讨论：上例中总势能为

U
U
P

1 2
(k
Pl )
2
对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值
1）P<k/l ，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定）
(即U>UP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)
由小挠度理论求临界荷载
（平衡形式的二重性）
能量法：考虑临界状态的能量特征。
（势能有驻值，位移有非零解）
确定体系变形形式(新的平衡形式)的 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.
1、静力法（平衡法）：要点是利用临界状态平
衡形式的二重性，在原始平衡路径之外寻找新的平衡
PP
B B´ λ
路径，确定分支点，由此求临界荷载。
EI=∞
l
P(lPlMkk)A 00
(Pl k) 0k
Pcr
临界荷载
l
θ=0，原始平衡
θ≠0，新平衡形式
Plk 0
特征方程（稳定方程）
θ 转动刚 度系数k
A k
7
MA=kθ
用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变形 状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数的齐 次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方程的系 数行列式 D应等于零，得到稳定方程： D=0
能量法解题思路：
1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能Π；
2）由势能驻值条件δΠ = 0，得到包含待定参数的齐次方程组； 3）令系数行列式等于零，得到特征方程。
16
例3 能量法求临界荷载.
x
解：位移边界条件为：
P
当 x=0 和 x=l 时，y=0 1）设失稳曲线为抛物线(纯弯下的挠曲线)
(小挠度理论)
P
P
Pe
Pcr
(大挠度理论)
O
Δ
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
极值点失稳的特点是平衡形式不出现 分支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的变 形形式并不发生质的改变，由于结构的变 形过大,结构将不能正常使用.小挠度结果位 移趋于无穷是不真实的，但由其计算的临 界载荷也有一定的实际意义。
本章根据小挠度理论来求临界载荷。 4
零得稳定方程：
5kl 2P P 4kl 0
P 4kl 5kl 2P
解得：P1

k l
3k P2 l ,
k Pcr P1 l
14
§16-3 弹性压杆的稳定——静力法
静力法的解题思路: 先对变形状态建立平衡方程，然后根据非0变形要求