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人教版九年级上册数学 二次函数中考真题汇编[解析版]

人教版九年级上册数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.图①,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),并且与直线y=1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点,动点P在直线BC下方的二次函数的图象上.(1)求此二次函数的表达式;(2)如图①,连接PC,PB,设△PCB的面积为S,求S的最大值;(3)如图②,抛物线上是否存在点Q,使得∠ABQ=2∠ABC?若存在,则求出直线BQ的解析式及Q点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=12x2﹣32x﹣2;(2)﹣1<0,故S有最大值,当x=2时,S的最大值为4;(3)Q的坐标为(53,﹣289)或(﹣113,929).【解析】【分析】(1)根据题意先求出点B、C的坐标,进而利用待定系数法即可求解;(2)由题意过点P作PH//y轴交BC于点H,并设点P(x,12x2﹣32x﹣2),进而根据S=S△PHB+S△PHC=12PH•(x B﹣x C),进行计算即可求解;(3)根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况,利用解直角三角形的方法,求出点H的坐标,进而分析求解.【详解】解:(1)对于直线y=12x﹣2,令x=0,则y=﹣2,令y=0,即12x﹣2=0,解得:x=4,故点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,﹣2),抛物线过点A、B两点,则y=a(x+1)(x﹣4),将点C的坐标代入上式并解得:a=12,故抛物线的表达式为y=12x2﹣32x﹣2①;(2)如图2,过点P作PH//y轴交BC于点H,设点P(x,12x2﹣32x﹣2),则点H(x,12x﹣2),S=S△PHB+S△PHC=12PH•(x B﹣x C)=12×4×(12x﹣2﹣12x2+32x+2)=﹣x2+4x,∵﹣1<0,故S有最大值,当x=2时,S的最大值为4;(3)①当点Q在BC下方时,如图2,延长BQ交y轴于点H,过点Q作QC⊥BC交x轴于点R,过点Q作QK⊥x轴于点K,∵∠ABQ=2∠ABC,则BC是∠ABH的角平分线,则△RQB为等腰三角形,则点C是RQ的中点,在△BOC中,tan∠OBC=OCOB=12=tan∠ROC=RCBC,则设RC=x=QB,则BC=2x,则RB22(2)x x5=BQ,在△QRB中,S△RQB=12×QR•BC=12BR•QK,即122x•2x=125,解得:KQ5∴sin∠RBQ=KQBQ55x=45,则tanRBH=43,在Rt △OBH 中,OH =OB•tan ∠RBH =4×43=163,则点H (0,﹣163), 由点B 、H 的坐标得,直线BH 的表达式为y =43(x ﹣4)②, 联立①②并解得:x =4(舍去)或53, 当x =53时,y =﹣289,故点Q (53,﹣289); ②当点Q 在BC 上方时,同理可得:点Q 的坐标为(﹣113,929); 综上,点Q 的坐标为(53,﹣289)或(﹣113,929). 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等,注意分类讨论思维的应用,避免遗漏.2.如图,抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点,已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式;()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点,过点P 作y 轴的平行线,交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时,求点D 的坐标;()3点M 是抛物线上的一动点,当()2中BCP 的面积最大时,请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标 【答案】(1)2y x 2x 3=-++;(2)点33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭;(3)点M 的坐标为()0,3或113113,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -,利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.(2)首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=,求得()3,0B ,然后设直线BC 的关系式为y kx b =+,由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+,可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+,BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解; (3)根据PD y 轴,45PDM ∠=︒,分别设DM y x b =+,DM y x b =-+,根据点33D(22,)坐标即可求出b ,再与抛物线联系即可得出点M 的坐标. 【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B .设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠),将点,B C 的坐标代入,可求得直线BC 的关系式为3y x =-+.∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时,S 有最大值,此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()3∵PD y 轴,45PDM ∠=︒第一种情况:令DM y x b =+,33D(22,)解得:b=0∴223y xy x x =⎧⎨=-++⎩ 解得:113x =∴113113M 22++(,) 第二种情况:令DM y x b =-+,33D(22,)解得:b=3∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得:x=0或x=3(舍去)∴M 03(,)满足条件的点M 的坐标为()0,3或113113,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题关键.3.二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .(1)当m =1时,求顶点P 的坐标;(2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD .①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.【答案】(1)P (2,13);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4.【解析】【分析】(1)把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可;(2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可; (3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可.【详解】解:(1)当m =1时,二次函数为212163y x x =-+, ∴顶点P 的坐标为(2,13); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上, ∴2263m m b a a m =-+, 即:2263m m b m a a -=- ∵0b m ->, ∴2263m m a a ->0, ∵m >0,∴2263a a ->0, 解得:a <0或a >4,∴a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+, ∴顶点P (2,3m ), 当x=0时,y=m ,∴点A (0,m ),∴OA=m ;设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0),把点A (0,m ),点P (2,3m )代入,得: 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m , 当y=0时,x=3,∴点B (3,0);∴OB=3;∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°,且∠OAB+∠FAB =90°,∴∠DAF=∠OAB ,在△ADF 和△ABO 中, DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF ≌△ABO (AAS ), ∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,∴点D 的坐标为:(m ,m+3);②由①同理可得:C (m+3,3),∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,∴当x =m 时,3y m ≤+,可得322363m m m m -+≤+,化简得:32418m m -≤. ∵0m >,∴2184m m m -≤,∴218(2)4m m--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,当5m ≥时,2(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4; 当x = m +3时,y ≥3,可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥, ∵0m >,∴21823m m m ++≥,即218(1)2m m++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,当2m ≥时,2(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4.【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.4.如图1.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点,顶点为()0,442D AB =,,设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点,将抛物线C 绕点F 旋转180︒,得到新的抛物线'C .()1求抛物线C 的函数表达式:()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点,求m 的取值范围.()3如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线'C上的对应点P',设M是C上的动点,N是'C上的动点,试探究四边形'PMP N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.【答案】()12142y x=-+;()2222m<<()3四边形'PMP N可以为正方形,6m=【解析】【分析】(1)由题意得出A,B坐标,并代入,,A B D坐标利用待定系数法求出抛物线C的函数表达式;(2)根据题意分别求出当C'过点()0,4D时m的值以及当C'过点()22,0B时m的值,并以此进行分析求得;(3)由题意设(),P n n,代入解出n,并作HK OF⊥,PH HK⊥于H,利用正方形性质以及全等三角形性质得出M为()2,2m m--,将M代入21:42C y x=-+即可求得答案.【详解】解:()142AB=(),22,0)2,0(2A B∴-将,,A B D三点代入得2y ax bx c=++820.820.4a b ca b cc⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩解得124abc⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2142y x∴=-+;()2如图21:42C y x=-+.关于(),0F m 对称的抛物线为 ()21:242C y x m '=-- 当C '过点()0,4D 时有()2140242m =-- 解得:2m = 当C '过点()22,0B 时有()21022242m =-- 解得:22m =222m ∴<<;()3四边形'PMP N 可以为正方形 由题意设(),P n n ,P 是抛物线C 第一象限上的点 2142n n ∴-+= 解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥,PH HK ⊥于H ,MK HK ⊥于K四边形PMP N '为正方形 易证PHK FKM ≌2FK HP m ∴==-2MK HF ==M ∴为()2,2m m --∴将M 代入21: 42C y x =-+得 ()212242m m -=--+ 解得:126,0m m ==(舍去)∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,难度大.5.如图1,抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A .(1)直接写出抛物线1C 的解析式______________.(2)如图1,x 轴上两动点,M N 满足:m n X X n -==.若,B C (B 在C 左侧)为线段MN 上的两个动点,且满足:B 点和C 点关于直线:1l x =对称.过B 作BB x '⊥轴交1C 于B ',过C 作CC x '⊥轴交1C 于C ',连接B C ''.求B C ''的最大值(用含n 的代数式表示).(3)如图2,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C .2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ,其横坐标为m .以OM 为直径作K ,记⊙K 的最高点为Q .若Q 在直线2y x =-上,求m 的值.【答案】(1)21y x =+;(2)251|n -;(3)14m =-或12m =- 【解析】【分析】(1)将()0,1A 带入抛物线1C 解析式,求得b 的值,即可得到抛物线1C 的解析式; (2)设(),0B q ,则()2,0C q -,求()2B C ''并进行化简,由1n q -≤<且12,q n <-得21n q -<,则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,取min 2q q n ==-,带入()2B C '',即可求得()max B C '';(3)依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ,求得2C 解析式,根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,由Q 点在2y x =-上,得2Q k x m =-=-,继而得到231048m m -+=,解得14m =-或12m =-. 【详解】解:(1)将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+,得b=1,则21:1C y x =+,(2)设(),0B q ,则()2,0C q -,∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦ 2204020q q =-+()2201q =-,∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴,∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,min 2q q n ==-, 即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-,∴()max 1|B C n ''=-,(3)根据题意,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ,∴221:8C y x =+, ∴21,8M m m ⎛⎫+⎪⎝⎭, ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, ∴由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, ∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 化简上式得:22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, ∵Q 点在2y x =-上,则2Q k x m =-=-,∴k m =-为上述方程的一个解, ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, 21148m m m -=+∴, ∴231048m m -+=, 解得:114m =-,212m =-(经检验114m =-,212m =-是方程231048m m -+=的解), 故14m =-或12m =-. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识.解题关键是熟练掌握二次函数的性质,充分利用数形结合的思想.6.定义:对于已知的两个函数,任取自变量x 的一个值,当0x ≥时,它们对应的函数值相等;当0x <时,它们对应的函数值互为相反数,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:正比例函数y x =,它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. (1)已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上,求a 的值; (2)已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时,求m 的值; ②当33x -≤≤时,求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. (3)在平面直角坐标系中,点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】(1)1;(2)①22- ;②max 432y =,min 12y =-;(3)31n -<≤-,514n <≤【解析】【分析】 (1)先求出5y ax =-的相关函数,然后代入求解,即可得到答案;(2)先求出二次函数的相关函数,①分为m <0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可;②当-3≤x <0时,y=x 2-4x+12,然后可 此时的最大值和最小值,当0≤x≤3时,函数y=-x 2+4x-12,求得此时的最大值和最小值,从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值; (3)首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值,然后结合函数图象可确定出n 的取值范围.【详解】解:(1)根据题意,一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩, ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+,则(5)510a -⨯-+=,∴1a =;(2)根据题意,二次函数21 42y x x=-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x xyx x x⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩,①当m<0时,将B(m,32)代入y=x2-4x+12得m2-4m+1322=,解得:m=2+5(舍去)或m=25-.当m≥0时,将B(m,32)代入y=-x2+4x-12得:-m2+4m-12=32,解得:m=2+2或m=22-.综上所述:m=25-或m=22+或m=22-.②当-3≤x<0时,y=x2-4x+12,抛物线的对称轴为x=2,此时y随x的增大而减小,∴当3x=-时,有最大值,即2143(3)4(3)22y=--⨯-+=,∴此时y的最大值为432.当0≤x≤3时,函数y=-x2+4x12-,抛物线的对称轴为x=2,当x=0有最小值,最小值为12-,当x=2时,有最大值,最大值y=72.综上所述,当-3≤x≤3时,函数y=-x2+4x12-的相关函数的最大值为432,最小值为12-;(3)如图1所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点.∴当x=2时,y=1,即-4+8+n=1,解得n=-3.如图2所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1,∴-n=1,解得:n=-1.∴当-3<n≤-1时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.如图3所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=-x2+4x+n经过点(0,1),∴n=1.如图4所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.∵抛物线y=x2-4x-n经过点M(12,1),∴14+2-n=1,解得:n=54.∴1<n≤54时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.综上所述,n的取值范围是-3<n≤-1或1<n≤54.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系,求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键.7.如图①抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(4,0),点C三点.(1)试求抛物线的解析式;(2)点D(3,m)在第一象限的抛物线上,连接BC,BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)存在.P(﹣34,1916).(3)1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】(1)将A,B,C三点代入y=ax2+bx+4求出a,b,c值,即可确定表达式;(2)在y轴上取点G,使CG=CD=3,构建△DCB≌△GCB,求直线BG的解析式,再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点,(3)根据平行四边形的对边平行且相等,利用平移的性质列出方程求解,分情况讨论.【详解】解:如图:(1)∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(4,0),点C三点.∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.(2)存在.理由如下:y=﹣x2+3x+4=﹣(x﹣32)2+254.∵点D(3,m)在第一象限的抛物线上,∴m=4,∴D(3,4),∵C(0,4)∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45°.连接CD,∴CD∥x轴,∴∠DCB=∠OBC=45°,∴∠DCB=∠OCB,在y轴上取点G,使CG=CD=3,再延长BG交抛物线于点P,在△DCB和△GCB中,CB=CB,∠DCB=∠OCB,CG=CD,∴△DCB≌△GCB(SAS)∴∠DBC=∠GBC.设直线BP解析式为y BP=kx+b(k≠0),把G(0,1),B(4,0)代入,得k=﹣14,b=1,∴BP解析式为y BP=﹣14x+1.y BP=﹣14x+1,y=﹣x2+3x+4当y=y BP时,﹣14x+1=﹣x2+3x+4,解得x1=﹣34,x2=4(舍去),∴y=1916,∴P(﹣34,1916).(3)1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下,如图B(4,0),C(0,4) ,抛物线对称轴为直线32x=,设N(32,n),M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况:当MN与BC为对边关系时,MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m,∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--;或∴0-32=4-m,∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-;第二种情况:当MN与BC为对角线关系,MN与BC交点为K,则K(2,2),∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用,涉及待定系数法,函数图象交点坐标问题,平行四边形的性质,方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.8.如图,直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A ,C ,经过A ,C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ,且tan 3CBO ∠=(1)求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标;(2)点P 是射线BD 上一点,问是否存在以点P ,A ,B 为顶点的三角形,与ABC 相似,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)243y x x =++,顶点(2,1)D --;(2)存在,52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】(1)利用直线解析式求出点A 、C 的坐标,从而得到OA 、OC ,再根据tan ∠CBO=3求出OB ,从而得到点B 的坐标,然后利用待定系数法求出二次函数解析式,整理成顶点式形式,然后写出点D 的坐标;(2)根据点A 、B 的坐标求出AB ,判断出△AOC 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出AC ,∠BAC=45°,再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°,然后分①AB 和BP 是对应边时,△ABC 和△BPA 相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,求出BE 、PE ,再求出OE 的长度,然后写出点P 的坐标即可;②AB 和BA 是对应边时,△ABC 和△BAP 相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,求出BE 、PE ,再求出OE 的长度,然后写出点P 的坐标即可.【详解】解:(1)令y=0,则x+3=0,解得x=-3,令x=0,则y=3,∴点A (-3,0),C (0,3),∴OA=OC=3,∵tan ∠CBO=3OC OB=, ∴OB=1,∴点B (-1,0),把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得, 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩,解得:143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴该抛物线的解析式为:243y x x =++,∵y=x 2+4x+3=(x+2)2-1,∴顶点(2,1)D --;(2)∵A (-3,0),B (-1,0),∴AB=-1-(-3)=2,∵OA=OC ,∠AOC=90°,∴△AOC 是等腰直角三角形,∴,∠BAC=45°,∵B (-1,0),D (-2,-1),∴∠ABD=45°,①AB 和BP 是对应边时,△ABC ∽△BPA , ∴AB AC BP BA =,即22BP =, 解得BP=3, 过点P 作PE ⊥x 轴于E ,则BE=PE=23×22=23,∴OE=1+23=53,∴点P的坐标为(-53,-23);②AB和BA是对应边时,△ABC∽△BAP,∴AB ACBA BP=,即2322BP =,解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E,则BE=PE=3222=3,∴OE=1+3=4,∴点P的坐标为(-4,-3);综合上述,当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时,以点P,A,B为顶点的三角形与ABC∆相似;【点睛】本题是二次函数综合题型,主要利用了直线与坐标轴交点的求解,待定系数法求二次函数解析式,等腰直角三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,难点在于(2)要分情况讨论.9.如图,已知顶点为M(32,258)的抛物线过点D(3,2),交x轴于A,B两点,交y轴于点C,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式; (2)当点P 在直线AD 上方时,求△PAD 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标; (3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q ,若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q '.是否存在点P ,使Q '恰好落在x 轴上?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)213222y x x =-++;(2)最大值为4,点P (1,3);(3)存在,点P 139313-+). 【解析】【分析】 (1)用待定系数法求解即可;(2)由△PAD 面积S =S △PHA +S △PHD ,即可求解;(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ,213222a a -++),当P 点在y 轴右侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可. 【详解】解:(1)设抛物线的表达式为:y =a (x ﹣h )2+k =a (x ﹣32)2+258, 将点D 的坐标代入上式得:2=a (3﹣32)2+258, 解得:a =﹣12, ∴抛物线的表达式为:213222y x x =-++; (2)当x =0时,y =﹣12x 2+32x +2=2, 即点C 坐标为(0,2), 同理,令y =0,则x =4或﹣1,故点A 、B 的坐标分别为:(﹣1,0)、(4,0),过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H,由点A 、D 的坐标得,直线AD 的表达式为:y =12(x +1), 设点P (x ,﹣12x 2+32x +2),则点H (x ,12x +12), 则△PAD 面积为:S =S △PHA +S △PHD =12×PH ×(x D ﹣x A )=12×4×(﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-)=﹣x 2+2x +3, ∵﹣1<0,故S 有最大值,当x =1时,S 有最大值,则点P (1,3);(3)存在满足条件的点P ,显然点P 在直线CD 下方,设直线PQ 交x 轴于F ,点P 的坐标为(a ,﹣12a 2+32a +2),当P 点在y 轴右侧时(如图2),CQ =a ,PQ =2﹣(﹣12a 2+32a +2)=12a 2﹣32a , 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P =90°,∠COQ ′=∠Q ′FP =90°,∴∠FQ ′P =∠OCQ ′,∴△COQ ′∽△Q ′FP ,'''Q C Q P CO FQ =,即213222'a a a Q F-=, ∴Q ′F =a ﹣3,∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣(a﹣3)=3,CQ=CQ′=22223213CO OQ+=+=,此时a=13,点P的坐标为(13,9313-+).【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质,解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通,属于中考常涉及的题目.10.如图,已知二次函数22(0)y ax ax c a的图象与x轴负半轴交于点A(-1,0),与y轴正半轴交与点B,顶点为P,且OB=3OA,一次函数y=kx+b的图象经过A、B.(1) 求一次函数解析式;(2)求顶点P的坐标;(3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且3tan2OAM∠=,求点M坐标;(4)设抛物线的对称轴交x轴与点E,联结AP交y轴与点D,若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点,联结QD、QN,请直接写出QD+QN的最小值.【答案】(1) 一次函数的解析式为:y=3x+3(2)顶点P的坐标为(1,4)(3) M点的坐标为:15,2(,39⎛⎫-⎪⎝⎭或23-)(445【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式即可得出B(0,3),根据OB=3OA,可求出OA的长,也就得出了A点的坐标,然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中,即可得出所求;(2)将(1)得出的A点坐标代入抛物线的解析式中,可求出a的值,也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标;(3)易求出平移后的直线的解析式,可根据此解析式设出M点坐标(设横坐标,根据直线的解析式表示出纵坐标).然后过M作x轴的垂线设垂足为E,在构建的直角三角形AME 中,可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长,然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标.(本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解.方法一样.)(4)作点D 关于直线x=1的对称点D′,过点D′作D′N ⊥PD 于点N ,根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值.【详解】(1)∵A (-1,0),∴OA=1∵OB=3OA ,∴B (0,3)∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为:y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A (-1,0),与y 轴正半轴交与点B (0,3),∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为:223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P (1,4)(3)设平移后的直线的解析式为:3y x b =+∵直线3y x b =+过P (1,4)∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+,且3tan 2OAM ∠=设M (x,3x+1)① 当点M 在x 轴上方时,有31312x x +=+,∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时,有31312x x +-=+,∴59x =- ∴25(,9M - 23-) (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’,过点D’作D’N ⊥PD 于点N当-x 2+2x+3=0时,解得,x=-1或x=3,∴A (-1,0),P 点坐标为(1,4),则可得PD 解析式为:y=2x+2,令x=0,可得y=2,∴D (0,2),∵D 与D′关于直线x=1对称,∴D′(2,2).根据ND′⊥PD ,设ND′解析式为y=kx+b,则k=-12,即y=-12x+b,将D′(2,2)代入,得2=-12×2+b,解得b=3,可得函数解析式为y=-12x+3,将两函数解析式组成方程组得:13222y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩,解得25145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故N(214,)55,由两点间的距离公式:d=222144522555⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴所求最小值为455【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点.同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题.。

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