主应力的求解 主应力的图示
应力张量的分解
σ ij = σ + δ ijσ m
' ij
(i,j=x,y,z) 为柯氏符号。 为柯氏符号。
1 即平均应力， 其中 σ m = (σ x + σ y + σ z ) 即σ x τ xy τ xz σ x τ xy τ xz 1 0 0 . σ τ = . σ ' τ + σ 0 1 0 y yz y yz m . 0 0 1 . σz . . σ z'
' ' ' ' ' 体现变形体形状改变的程度） I 2 = σ 1'σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1' （体现变形体形状改变的程度）
' ' I 3' = σ 1'σ 2σ 3 = const
应力椭球面
应力椭球面是在主轴坐标系中点应力状态的几何表达
单向应力状态---三个主应力中, 单向应力状态---三个主应力中,有两个主应力为零 ---三个主应力中 平面应力状态-----一个主应力为零 平面应力状态---一个主应力为零 圆柱体应力状态-----两个主应力相等 圆柱体应力状态---两个主应力相等 球应力状态---三个应力都相等,此时所有方向均为主方向, ---三个应力都相等 球应力状态---三个应力都相等,此时所有方向均为主方向, 且应力都相等. 且应力都相等.
八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。 这组截面的方向余弦为：
1 3 α = β = γ = 54 o 44 ' lx = l y = lz = ±
正应力 剪应力 （
τ8 =
2 2 (I1 −3I2 ) 3
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。
σ
等效应力
等效应力的特点： 1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的 拉伸(或压缩)应力，即σe=σ1 3)等效应力并不代表某一实际平面上的应力， 因而不能在某一特定的平面上表示出来； 4)等效应力可以理解为代表一点应力状态中 应力偏张量的综合作用。 5）等效应力是研究塑性变形的一个重要概念， 它是与材料的塑性变形有密切关系的参数。
讨论：
1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态 （一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用 面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析 等。
应力莫尔圆
设已知某应力状态三个主应力σ1≥σ2≥σ3. 应 轴为 标轴, ,其 则 : 为l,m,n,
2. 求和约定
在算式的某一项中，如果有某个角标重 复出现，就表示要对该角标自l~n的所有 元素求和。 如 可简记为
3.张量 3.张量的定义 张量的定义
物理量P对于新的空间坐标系的九个分量为P 物理量P对于新的空间坐标系的九个分量为Pkr (k， (k，r＝l’，2’，3’)。若这个物理量P在坐标系 ， ， ) 若这个物理量P 中的九个分量与在坐标系x xi中的九个分量与在坐标系xk中的九个分量之 间存在下列线性变换关系: 间存在下列线性变换关系:
内力Q：变形体抗衡外力机械作用的体现。
应力（stress）
∆P dP = s = lim S---微元面dF上全应力全应力 ∆F → 0 ∆ F dF
应力S 是内力的集度 内力和应力均为矢量 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不 同点的应力不同。
应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函 数，即同一点不同方位的截面上的应力是 不同的。
一点的应力状态可以用: 一点的应力状态可以用: σx σy σz τxy τyx τxz τzx τyz τzy 九个应力分量来描述. 九个应力分量来描述. 可用符号σ (i,j=x,y,z)表示 表示, 可用符号σij(i,j=x,y,z)表示, 下角标分别依次等于x, 下角标分别依次等于x, y,z, 表示为矩阵形式, 表示为矩阵形式,得:
§3.2 应力分析
§3.2.1 塑性成形过程的受力 及点的应力状态 §3.2.2 应力张量的性质与几何表示 §3.2.3 应力平衡微分方程
§3.2.1
受力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体上的外部载荷。
体力---作用于物体的每个质点,如重力, 体力---作用于物体的每个质点,如重力,磁力 ---作用于物体的每个质点 面力(接触力)---直接作用于物体外表面 面力(接触力)---直接作用于物体外表面
张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。 张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。 Pkr是二阶 张量，矢量是一阶张量，而标量则是零阶张量。 张量，矢量是一阶张量，而标量则是零阶张量。
4. 张量的某些基本性质
(1)存在张量不变量 (1)存在张量不变量 张量的分量一定可以组成某些 函数f(P 这些函数值与坐标轴的选取无关， 函数f(Pij)，这些函数值与坐标轴的选取无关，即不 随坐标而变，这样的函数就叫做张量的不变量。 随坐标而变，这样的函数就叫做张量的不变量。对于 二阶张量，存在三个独立的不变量。 二阶张量，存在三个独立的不变量。 (2)张量可以叠加和分解 (2)张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分 量之和或差定义为另一同阶张量。 量之和或差定义为另一同阶张量。两个相同的张量之 差定义为零张量。 差定义为零张量。 (3)张量可分对称张量 非对称张量、 张量可分对称张量、 (3)张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量 若 Pij＝ Pji，则为对称张量；若Pij ≠ Pji ，则为非反对称张 ＝ 则为对称张量； 则为反对称张量。 量；若Pij＝ - Pji ，则为反对称张量。 ＝ (4)二阶对称张量存在三个主铀和三个主值 (4)二阶对称张量存在三个主铀和三个主值 如取主 轴为坐标轴分量都将为零， 轴为坐标轴分量都将为零，只留下两个下角标相同的 三个分量， 三个分量，称为主值。
第 3章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
金属塑性变形的力学基础
张量的基础知识 应力分析 应变分析 平面问题和轴对称问题 屈服准则 塑性变形的应力—应变关系 (本构关系) 材料应力—应变关系模型
基本假设
1．材料是各向同性的均匀连续体 ． 2．体积力为零 ． 3．变形体在表面力作用下处于平衡状态 ． 4．初始应力为零 ． 5．体积不变假设 ．
若以主方向为坐标轴,则应力张量矩阵简化为: 若以主方向为坐标轴,则应力张量矩阵简化为:
应力不变量
式中
I1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3
σx I2 = τ yx
τ xy σ y + σ y τ zy
τ yz σ z + σ z τ xz
τ zx σx
2 2 2 = σ xσ y + σ yσ z + σ z σ x − τ xy − τ yz − τ zx
σ ij
§3.1 张量的基础知识
1. 角标符号
σ ij
空间直线的方向余弦l 可写成l 空间直线的方向余弦l 、 m、n可写成lx 、 用角标符号记为l (i＝ z)； ly 、lz ，用角标符号记为li (i＝x，y，z)； 表示一点应力状态的九个应力分量, 表示一点应力状态的九个应力分量, (i， z)，等等。 可记为 σij(i，j＝x，y，z)，等等。 如果一个角标符号带有m个角标，每个角标取n 如果一个角标符号带有m个角标，每个角标取n 个值，则该角标符号代表n 个元素. 个值，则该角标符号代表nm个元素. (i， z)就有 =9个元素 就有3 个元素( 例如 σij(i，j＝x，y，z)就有32 =9个元素(即九 个应力分量) 个应力分量)。
应力状态特征方程
齐次线性方程组存在非零解的条件是: 齐次线性方程组存在非零解的条件是:
将行列式展开得: 将行列式展开得: 其中 -- 应力状态特征方程
应力状态特征方程有三个实根,即三个主应力σ 应力状态特征方程有三个实根,即三个主应力σ1,σ2, σ3
应力不变量
对于一个确定的应力状态,只能有一组(三个)主应力值。 对于一个确定的应力状态,只能有一组(三个)主应力值。 即应力状态特征方程的系数J 不随坐标而变. 即应力状态特征方程的系数J1, J2, J3不随坐标而变. 称为应力张量的第一,第二和第三不变量. J1, J2, J3称为应力张量的第一,第二和第三不变量. 若坐标轴与主方向重合,应力不变量简化为: 若坐标轴与主方向重合,应力不变量简化为:
解上述方程组得:
整理得:
在στ坐标平面上,上式表示三 στ坐标平面上, 个圆,圆心都在σ轴上, 个圆,圆心都在σ轴上,距原点 分别为 :(σ2+σ3)/2,(σ3+σ1)/2,(σ1+σ2)/ :(σ )/2,(σ )/2,(σ 2, 数值上为主剪应力平面上 的正应力, 的正应力,三个圆的半径随方 向余弦而变. 向余弦而变. 对于一个确定的 微分面,l,m,n都是定值, 微分面,l,m,n都是定值,三个圆 必然有共同的交点,交点P 必然有共同的交点,交点P的 坐标即该面上的正应力和剪 应力. 应力.
' σ x = σ x −σ m ,
σ = σ y −σ m
' y
σ z' = σ z − σ m
讨论： 讨论：
分解的依据： 静水压力实验证实， 分解的依据 ： 静水压力实验证实 ， 静水压力不会引起变 形体形状的改变， 只会引起体积改变， 形体形状的改变 ， 只会引起体积改变 ， 即对塑性条件无 影响。 影响。 偏应力张量(deviatoric tensor)为引起形状改 偏应力张量 (deviatoric stress tensor) 为引起形状改 变的张量，球张量(spherical tensor)（ 变的张量，球张量(spherical stress tensor)（静水压 为引起体积改变的张量。 力）为引起体积改变的张量。 ' ' ' ' 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量： 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量： I 1' = σ x + σ y + σ z' = σ 1' + σ 2 + σ 3 = 0