定理17.16 图G是平面图当且仅当G中没有可以收缩到库 拉托夫斯基图的子图。

第十七章： 第十七章：平面图
第一节： 第一节：平面图的基本概念 第二节：欧拉公式 第二节： 第三节： 第三节：平面图的判断 第四节： 第四节：平面图的对偶图
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只有平面图才有对偶图。 设Ｇ为平面图，则Ｇ的对偶图为G*，且G*也为平面图。 求图Ｇ的对偶图的方法如下： (1)将图G所有的面Fi（包括无限面）对应于G*的结点fi； (2)对二个相邻的面Fi ,Fj ，即Fi ,Fj之间有公共边e，则在边 fi ,fj之间作一条连线（即形成一条边（ fi ,fj ））并与e相 交； (3)若e为G中的桥，且在面Fi的边界上，fi 恰存在一条自回 路与e相交。
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定理 用５种颜色可以给任何简单连通平面图正常着色。 《定理》：对于有n个结点的完全图Kn，有x(Kn)=n。 证明： ∵在完全图中，每一个结点与其他结点相邻接 ∴n个结点的着色数不能小于n 又∵n个结点的着色数最少为n ∴有x(Kn)=n成立 （注意：当时n≤4， Kn为平面图，n≥5，则为Kn非平面图）
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定义 k3,3和k5称为库拉托夫斯基图。
给定两个图,我们做以下的工作： 给定两个图 我们做以下的工作： 我们做以下的工作 观察次数为2的结点： 观察次数为 的结点： 的结点 (１) 在左边图的中间联线上插入一个次数为 的结 １ 在左边图的中间联线上插入一个次数为2的结 则把一条边分成了二条边； 点，则把一条边分成了二条边； (２) 在右边图中去掉一个次数为 的结点，则把二 ２ 在右边图中去掉一个次数为2的结点 的结点， 条边变成一条边。 条边变成一条边。 此二项工作不会改变平面图的性质。 此二项工作不会改变平面图的性质。
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17.平面图及图的着色
17.1 基本概念
定义 设G是平面图（且已经平面嵌入），G的边将平面划分成 若干个区域，每个区域称为G的一个面。其中面积无限的 称为无限面或外部面常记为R0 ，面积有限的称为有限面 或内部面。 包围每个面的所有边组成的回路组称为该面的边界， 边界的长度称为面的次数。面R的次数记为deg(R)
第十七章： 第十七章：平面图
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对于平面图, 先举一例, 设有一个电路它有六个元 件，三个分成一组，一个元件组的每个元件都用导线 与另一组的每个元件相接，是否有这样的接法使得导 线互不交叉？
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所得到的图即是图G的对偶图，记为G*。 例：
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例：求Ｇ的对偶图
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定理 设G*是连通平面图G的对偶图，n*,m*,r*和n,m,r分 别为G*和G的顶点数，边数和面数，则 1）n*=r 2) m*=m 3) r*=n 4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中，则dG*(vi*)=deg(Ri)。
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17.平面图及图的着色
17.1 基本概念
定义： 定义：一个图G能画在平面上，除顶点之外，再没有边与 边相交. 则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的平面嵌入，无平面嵌入 图为非平面图. 讨论定义： （1）平面上的图，一开始就画成如定义所讲的图；
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17.平面图及图的着色
17.1 基本概念
定理 设G是具有k(k≥2)个连通分支的平面图，且每个面的次 数至少为l（l≥3 ），则G的边数m与顶点数n有如下关 系：
l (n − k − 1) m≤ l −2
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平面图性质
定理 设G是n阶（n≥3） m条边的简单平面图，则m<= 3n6 证明 设G有k(k>=1)个连通分支。若G为树或森林，则 m=n-k<=3n-6. 若G不是树也不是森林，则G中含有圈。又因为G 为简单图，所以各圈的长度大于或等于3，从而各 面次数至少为3.
（2）原来在平面上的图形似交叉，但经过若干次的改画 后，变成符合定义所规定的图；
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17.平面图及图的着色
（3）下列图形均为非平面图
17.1 基本概念
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平面图的性质
定理 若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。 定理 若图G是非平面图，则G的任何母图都是非平面图。
推论 Kn（n≥5）和K3,n（n≥3）都是非平面图。 定理 设G是平面图，则在G中加平行边或环后所得图还 是平面图。 在研究一个图是否为平面图时， 在研究一个图是否为平面图时，可以只考虑简单图
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定义 ：设G1、 G2是二个图，若可以插入或删除次数为2 的结点，使得G1和G2同构，则称 G1、 G2为2度顶点内 同构（或同胚）。 例：下列二对图是2度顶点内同构
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定理 ：（Kuratowski定理） 设G是一个图，当且仅当G不包含任何在2度顶点内与库 拉托夫斯基图同构的子图时，则G才是平面图。
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下面先介绍韦尔奇—鲍威尔（Welch.powell）法对图进行 着色： 例：用韦尔奇—鲍威尔法对图着色 （1）将图中结点数依照度数的递减次序进行排列（当然 这样排列不一定是唯一的）；
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右图根据结点度数以递减排列次序为： ５ ３ ７ １ ２ ４ ６ ８ (6) (5) (5) (4) (4) (4) (3) (3) （2）对5着第一种颜色， 并对与5不相邻的结点1 5 1 着与5同样的颜色； （3）对3和与3不相邻 的结点4、8着第二种颜 色,对7和与7不相邻的结 点2、6着第三种颜色， 这样全部着色完毕。
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在下图中, 图(1)所示为连通的平面图, 共有3个面R0, R1, R2。 R1的边界为初级回路v1 v3 v4 v1 , deg(R1)=3。R2的边界为初级 回路v1 v2 v3 v1 , deg(R2)=3。R0无限面, 它的边界为复杂回路 v1 v4 v5v6 v5 v4 v3 v2 v1 , deg(R0)=8。图(2)所示为非连通的平 面图，有两个连通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的边界 由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
正则平面图的对偶图为自对偶图， 例 ：正则平面图的对偶图为自对偶图， 同构函数为： 同构函数为： f:{1,2,3,4} →{a,b,c,d} f(1)=a f(2)=b f(3)=c f(4)=d
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第十八章：图的着色 第十八章：
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对于给平面图着色，可对应给图的对偶图的结点进行着 色，只要对偶图中任何二个相邻结点的颜色不同，就 可给该平面图着色。 定义 给图G的正常着色（简称着色）是指对它每一个结 点指定一种颜色，使得没有二个相邻结点有相同的颜 色，若用了n种颜色着色，则称G为n色的，而对G用最 少的颜色进行着色，称最少的颜色数为色数，记作 x(G)。
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②归纳步骤：假设r=k-1时，定理成立。 考察r=k时，设图G有n个结点，m条边。因为k≥2，所以G 中至少有一个圈将外部面与内部面分开。 从任一圈中去掉一条边，得到G′(G′仍然连通)。因为去掉 的边在圈中，一定是两个面的公共边。将其去掉后这 两个面就连成了一个面，图G′的面数为k-1，边数为m1，结点数为n。 由归纳假设，对图G′有： n-(m-1)+(k-1)=2 故有 n-m+k=2。 即r=k时，定理成立。 由归纳法，定理得证。
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第十七章： 第十七章：平面图
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定理 设平面连通图G的顶点数，边数和面数分别为：n,m,r, 则n-m+r=2成立。 证明：用数学归纳法证明（对面归纳) ①归纳基础：面的最小数为r=1，G中无回路，因而G是一 棵树，故有n=m+1，即有n-m+r=2
3 m≤ (n − k − 1) ≤ 3(n − 2) = 3n − 6 3− 2
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平面图性质
定理 设G是n(n≥3)阶m条边的极大平面图，则 m ＝3n-6 定理 设G是简单平面图，则G的最小度小于等于5。
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第一节： 第一节：平面图的基本概念 第二节：欧拉公式 第二节： 第三节： 第三节：平面图的判断 第四节： 第四节：平面图的对偶图
v1 R0 v2 R1 R2
v4 v6 v3 (1) v5 v2
v1 R1 v3
v4 R0 v5 (2)
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v7 R2 v6
17.平面图及图的着色
17.1 基本概念
定理 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍，即
∑ deg( R ) = 2m
i= i =1 i
r
其中r为G的面数。
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定义 设G为简单平面图，若在G的任意不相邻的顶点u，v 之间加边(u,v)，所得图为非平面图， 则称G为极大平面 图。
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定理 设G*是具有k(k≥2)个连通分支的平面图G的对偶图， n*,m*,r*和n,m,r分别为G*和G的顶点数，边数和面数， 则 1）n*=r 2) m*=m 3) r*=n-k+1 4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中，则dG*(vi*)=deg(Ri)。
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定义：若G的对偶图G*同构于G，则称G为自对偶图。
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平面图性质
定理 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G，有n-m+r=k+1 其中n,m,r分别为G的顶点数，边数和面数。 定理 设G是连通的平面图，且每个面的次数至少为l （l≥3 ），则G的边数m与顶点数n有如下关系：
l m≤ (n − 2) l −2
推论 K5和K3,3不是平面图
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平面图性质
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例：大学中7门考试，以下课程中有公共学生，12；13； 14；17；23；24；25；27；34；36；37；45；46；56； 57；67；问如何在尽可能少的时间段里安排7门考试并 使得没有学生在同一时间里有两门考试。