Aω
A1 φ0A2
π/4x
O
图10-17
解(1)如图10-17,两矢量间夹角为 ,所以合振动振幅
合振动初相
(2)合振动A再与第三个振动合成.根据振动叠加条件, 时合振动有极大值,即
(k=0,1,2…)
当 时合振动有极小值,即
(k=0,1,2…)
10-19当两个同方向的简谐振动合成为一个振动时，其振动表式为：
3应用同一直线上两个简谐振动的合成规律时，要特别注意它们的相位差和合成的振幅的关系；同向时，合振幅最大，反向时，合振幅最小。
10.4思考题选答
1弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐运动有什么区别？
答：弹簧振子的无阻尼自由振动是在“无阻尼”，包括没有空气等外界施加的阻力和弹簧内部的塑性因素引起的阻力的情况下发生的，是一种理想情况。由于外界不能输入能量，所以弹簧振子的机械能守恒。这时振动的频率由弹簧振子自身的因素（ ）决定。
解：（1）根据振动方程可知：振幅 ，角率 ，初相 ，周期 =1秒；（2）分析质点运动情况：从t=0时刻起， ；向 轴负方向运动，直到 ,即 为止；质点改变运动方向，向 轴正方向运动到位置P点。最短时间间隔为：
(3) 处的时刻。
第11章机械波基础
答：从质量的意义上来说，质量表示物体的惯性，弹簧本身的质量计入时，系统的质量增大，更不易改变运动状态。对不断地周期性改变运动状态的弹簧振
子的简谐运动来说，其进程一定要变慢。这就是说，考虑弹簧的质量时，弹簧振子的振动周期将变大。
10.5习题解答
10-1质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按 的规律而振动，式中t以s为单位,试求:
式中t以s为单位。求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。
解：已知，
拍的标准方程为：
两式比较得：
拍的周期为
。
10.23一质点沿 轴作简谐运动振动方程为 （SI），从t=0时刻起到质点位置在 处，且向 轴正方向运动的最短时间间隔为
（A）1/8秒；（B）1/4秒；
（C）1/2秒；（D）1/3秒、
（E）1/6秒。[ ]
振动、波动和光学习题精解
第10章机械振动
10.1要求
1了解简谐振动的能量；
2理解旋转矢量法、同方向和同频率简谐振动的合成的规律；
3掌握简谐振动的各物理量（ ）及各量间的关系、简谐振动的基本特征、建立简谐振动的微分方程、根据初始条件写出一维简谐振动方程、同方向和同频率简谐振动的合成。
10.2内容摘要
1简谐振动运动学方程
(2)过平衡位置向x正方向运动， ；
(3)过x=A/2处向x负方向运动， ；
(4)过处 向x正方向运动， ，
。
10-3某质点振动的x-t曲线如题图5－7所示.求：
（1）质点的振动方程；
（2）质点到达P点相位；
（3）质点到达P点相应位置所需的最短时间.
分析由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确定最短时间。
6、同方向、同频率简谐振动的合成
，
其中，A = ，
相位差 起了相当重要的作用
（1）两个谐振的频率相同时，合运动的振幅决定于它们的相位差：
同向时（ ），合振动最大，为两者振幅之和；
反向时合振动最小[ ]，为两者振幅之差；
（2）两个谐振的频率不相同时，合运动会产生拍现象，拍的频率为两个谐振的频率之差。
10.3解题思路
1根据给定条件，写简谐振动表达式时，要找出三个特征量 和 。 要特别注意初始条件，利用初始条件画出向量图是求 的一个方便的方法。由质点的初始位置和速度（特别是注意正和负）就可以画出振幅矢量的位置，确定 的值；
2从分析力着手判定简谐振动时，基本步骤就是
求质点在给定条件下受的合力，只要得到合力对某一平衡位置的位移正比而反向，就可以判定质点的运动是简谐振动，并可立即由力和位移的比例常数和质点的质量，写出简谐振动的角频率或周期；
特征量：振幅A：决定振动的范围和能量；
角频率ω：决定振动重复的快慢，频率 ；
初相 ：决定起始的时刻的位置和速度。
2振动的位相（ ）简谐振动在t时刻的位相；
3简谐振动动力学方程
弹性力： ， ；
4、简谐振动的能量
5、受迫振动：是在驱动力作用下的振动。稳态的受迫振动的频率等于驱动力的频率。当驱动力的频率等于系统的频率时，发生共振现象，振幅最大。
(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值;
(2)t=1s、2s、10s等时刻的相位各为多少?
(3)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
解：(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值：
由已知， ， ， ；
，
(2)t=1s、2s、10s等时刻的相位各为：
，
，
。
(3)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线
在简谐驱动力持续作用下的稳态简谐运动是在驱动力作用下产生的。这时实际上，弹簧振子受的阻力也起作用，只是在驱动力对弹簧振子做功而且输入弹簧振子的能量等于弹簧振子由于阻力消耗的能量时，振动才达到稳态，这样弹簧振子的能量才保持不变。此时，稳态受迫振动的频率决定于驱动力的频率，而与弹簧振子的固有频率无关。
2任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？
10-2有一个和轻弹簧相联的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余弦函数表示。若t=0时，球的运动状态为:
(1)x0=-A;
(2)过平衡位置向x正方向运动;
(3)过x=A/2处向x负方向运动;
(4)过处 向x正方向运动;
试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表式。
解：振动表式：
(1)x0=-A， ；
10-17两同方向简谐振动，其振动方程分别为
式中x以m为单位，t以s为单位.
(1)求合振动的振幅和初相;
(2)若另有一同方向简谐振动 ,问 为何值时,合振动 的振幅为最大;又 为何值时,合振动 的振幅为最小?
(3)用旋转矢量法表示(1)、（2）的结果.
分析先体会给出的两个振动方程,哪里体现了同方向?哪里体现了同频率?作两个同方向同频率振动合成,最简单的方法是旋转矢量法(不妨也尝试一下解析法),只要画出了合成矢量,简单的几何关系便给出合振动的振幅及初相.本题的另一部分是讨论振动加强减弱条件,这为后面讨论机械波、光波的干涉加强减弱作舖垫.