创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
放缩法
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶
利用基本不等式，如：
4lg 16lg 15lg )2
5lg 3lg (
5lg 3log 2
=<=+<⋅； 2
)
1()1(++<
+n n n n ⑷利用常用结论：
Ⅰ、k
k
k k k 21111<
++=-+；
Ⅱ
、
k
k k k k 111)1(112--=-<
；
1
11)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1
1
11(21)1)(1(11112
2+--=+-=-<
k k k k k k ； （程度小）
例1.若a , b , c , d ∈R +，求证：
21<+++++++++++<
c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a
【巧证】：记m =c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a +++
++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴
1=+++++++++++++++>
c
b a d d
b a d
c c a c b a b
d c b a a m
2=+++++++<c
d d
d c c b a b b a a m
∴1 < m < 2 即原式成立
例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴
2
22
2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡<n n
∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证：21
3121112222<++++n
【巧证】：n n n n n
111)1(112
--=-< ∴
21
21113121211113121112
222<-=+-++-+-+<++++n n n n
十二、放缩法:
巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y
y
x x b +++=11，求
证：a < b
巧练一：【巧证】：
y
y
x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111
巧练二：求证：lg9•lg11 < 1 巧
练
二
：【
巧证】：
122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 2
2
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅
巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n 巧
练
三
：
【
巧
证】：
2
22)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 2
2=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则04
11≥-+-+-a
c c b b a 巧
练
四
：
【巧
证】：
c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4
)()(22)
)((1
2112
巧练五：)2,(1121111
2≥∈>++++++
+n R n n
n n n 巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n
n
n n n n n n
巧练六：121
21112
1
<+++++≤
n
n n 巧练六：【巧证】： 11
1
21<⋅+≤≤⋅n n n n 中式
巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)
巧练七：【巧证】： ∵12
2
=⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又
a ,
b ,
c > 0, ∴
2
2
,⎪⎭
⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n
n
∴1=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n
n c b c a
放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法等。
所谓放缩法，要证明不等式A<B 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，这种证法便称为放缩法。
放缩法的常见技巧有：
（1）舍掉（或加进）一些项。
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩。
（4）应用函数的单调性进行放缩。
（5）根据题目条件进行放缩。
放缩法的理论依据主要有： （1）不等式的传递性；
（2）等量加不等量为不等量；
（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。
注意：（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度
（3）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。
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