图5.4 驻点附近的流动
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5.4.3 可压缩Couette流动
今考虑间距为h的两无限大平行平板，其间充满着可压缩粘性气体， 压强P为常数，流动为定常流。底板固定，顶板以恒速Ue在自身所在
的平面内平移，如图5.5所示。板间流体的运动全部是由于顶板的拖
动作用而造成的，这里不考虑沿y向的自然对流。
式中
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一、函数行列式的七点重要性质
（1）任意交换一对
或者
而保持其它项不变时，则
J的符号改变;
（2）当与之间有公共变量时，则发生行列式的降阶;
（3）设
（4）函数行列式具有替换特性即
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（5）对于n阶函数行列式，当i与k均大于1并且小于n时恒有
（6）对任意的整数n（当然n≥1）及整数i（当然要求i≤n）用数学 归纳法很容易证明恒有下式成立 （7）对任意大于1的整数及整数i与k（i≤n，k≤n），则恒有
型的剪切层。
图5.6 各种典型的剪切层
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二维定常不可压缩粘性流为例分析一下粘性项对流体运动所带来的 一些特点。在直角笛卡尔坐标系下其N–S方程为
u
u x
vuBiblioteka y1P x2u x2
2u y2
u
v x
v
v y
1
P y
2v x2
2v y2
u v 0 x y
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• 在流体中同时存在着湍流的输运性和分子的输运性质，为了便于讨论， 这里仅考虑只有一个速度分量的简单剪切流动，这时总的切应力、热 通量和质量输运量应该为
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应该指出：湍流脉动所引起的渗混输运（以下简称湍流输运）与分 子输运在机理上是有所不同的，不能完全仿照分子输运系数的方法 去确定湍流输运系数，二者之间至少有下列三点差别：
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• §5.7 不可压缩与可压缩湍流流动的基 本方程
• 5.7.1 两种平均运算方法 • 5.7.2 不可压缩湍流运动的基本方程 5.7.3 可压缩湍流运动的基本方程
§5.8 定常二维湍流边界层方程及动量积 分关系式解法
5.8.1 可压缩二维湍流边界层方程 5.8.2 不可压缩二维湍流边界层方程及边界条件 5.8.3 不可压缩湍流边界层的动量积分关系式解法
图5.5 可压缩库埃特流动
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5.5.1 剪切层的概念以及它的主要力学与物 理特性
油流体力学的基础知识知道，流体运动时可以发生两种性质的变形， 一种是线变形（它对应于拉伸和压缩），另一种是角变形（它对应于 剪切）。如果流层具有大的角应变（即剪切变形率）则称该流层为剪 切层。在剪切层中速度的梯度较大，而且强的剪切通常发生在薄层中， 这是高雷诺数流动的特点。剪切层的例子很多，图5.6给出了几种典
根据粘性流体的无滑移条件，于是在壁面上有
它们是由连续方程得到的。此时壁面上的剪切应力为
w
u y
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5.1.3 近代湍流研究的突出进展
湍流又称紊流，是一种很不规则的流动现象，是流体微团或者说是巨 量分子群的平均不规则运动。湍流运动产生的质量和能量的输运远远 大于分子热运动产生的宏观输运，这就导致了湍流场中质量和能量的 平均扩散远远大于层流扩散。
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5.2.1 直角坐标系下守恒型基本方程组的微分 形式
守恒型气体动力学基本方程组的微分形式在省略了彻体力后这组方程 可变为
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5.2.3 守恒方程组坐标变换的重要特点
在直角笛卡儿坐标系下，基本方程组（5-2-1）式可以写成守恒方程 组（这里采用爱因斯坦求和规约），即
这里为绕流的物体表面。
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§5.4 N-S方程的几个精确解
在流体力学及气体动力学中，所谓精确解具有两类含义：一类是解析 解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且描述关系中不再包含导 数或积分号；另一类是相似解，即对于未知函数的多维问题可以化成 某个变量的一维问题，然后再通过求解常微分方程或常微分方程组的 解去完成。
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5.1.1 分子输运与湍流输运
分子层次的输运是由分子无序运动完成的，例如温度不均匀即存在 温度梯度时，分子运动将使温度分布趋于均匀，其宏观表现是热量从 高温处向低温处流动，即热传导或者热扩散现象，并在实验的基础上 建立了傅里叶（Fourier）定律
式中，q为热流矢量，k为热传导系数。
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二、守恒方程组的坐标变换
在旧坐标系 讨论在新坐标系
中，存在着守恒方程组式（5-2-9），现在 中（5-2-9）式的变换问题，这里新旧
坐标系间满足（5-2-2-8）式的变换关系。
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5.2.4 有限体积法中粘性项的计算
有限体积法是以积分型守恒方程为出发点，将求解域离散为有限个小 的控制体单元，这些小单元体可以是通过结构网格生成的六面体，也 可以是非结构网格生成的四面体、五面体等。每一个网格单元就是有 限体积法中的一个小单元体，因此积分型的守恒方程直接在这个单元 体上作积分。
第5章 粘性流动与湍流模型基础
§5.1 粘性流动的一般概述
5.1.1 分子输运与湍流输运 5.1.2 粘性流体的壁面作用及涡量的产生 5.1.3 近代湍流研究的突出进展
§5.2 基本方程组的几种通用形式及粘 性项的计算
5.2.1 直角坐标系下守恒型基本方程组的微分形式 5.2.2 曲线坐标系下守恒型方程组的微分形式 5.2.3 守恒方程组坐标变换的重要特点 5.2.4 有限体积法中粘性项的计算
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5.3.3 二阶拟线性方程组分类的一般方法及 方程定解条件
1. 单个二阶拟线性偏微分方程的类型判别 对于只有一个因变量的二阶拟线性偏微分方程 .
2. 二阶拟线性偏微分方程组分类的一般方法及方程定解条件 现考虑具有一般形式的粘性气体动力学基本方程组。 连续方程为
动量方程为
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并且坐标原点取为平板的前缘；假定外部势流场是均匀流场，这时边 界层方程为
u
u x
v
u y
2u y 2
u
x
v y
0
y 0 且 x 0 : u 0, v 0
y ,
u u
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5.5.4 非耦合层流温度边界层的相似性解
对于密度变化很小的流动，可以先由连续方程和动量方程 解出速度分布，然后再由能量方程求解温度场。利用边界 层连续方程和动量方程求解速度场的过程，常称作求解速 度边界层问题（简称解速度边界层）；在已解出的速度场 基础上，用边界层能量方程求温度分布的过程常称作求解 温度边界层问题（简称解温度边界层或热边界层）。对于 可压缩流动，由于密度不能作常数处理，因此应将连续方 程、动量方程和能量方程联立求解。所以，如果采用边界 层方法求解流场，便存在着边界层的速度场与温度场的耦 合[1]。
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5.4.1 有运动边界的非定常流动——Stokes 第一问题
设有一无限长、无限宽的平板，其上部半无限空间中充满不可压缩的
粘性静止气体。如果平板在某一瞬时（不妨取t = 0）以等速度Ue沿 本身平面向右突然起动，之后便保持U0沿x方向作等速运动。由于粘
性作用，平板上侧流体将随之产生运动，若不考虑重力作用，试分析 时的流动。现在分析该流场的基本特征：
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§5.3* 粘性流体力学方程组的数学性质及 定解条件
对于一阶拟线性偏微分方程组，仍采用分析特征方程根的办法进行方 程的分类。考虑如下一阶拟线性方程组
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5.3.2 方程分类的实例（用一阶的方法）
今考虑二维流动。二维非定常Navier-Stokes方程的守恒形式可由方 程式（5-2-2）简化为二维时得到，其表达式为
粘性流体力学方程组的后四个方程组成了一个新的方程组，它以为未 知函数，该方程组属于二阶对称抛物型方程组；连续方程（即式 （5331））可以看作以为未知函数的一阶对称双曲型方程，因此将这 个方程与前面所述的二阶对称抛物型方程组相互耦合，便构成了一个 拟线性对称双曲一抛物耦合方程组，这就是粘性流体力学方程组的数 学结构。通常对这类问题可以提柯西问题，即给定初始状态[51]。除 了初始条件外，有时还可能有边界条件，例如物面边界条件
• 20世纪60年代以来，湍流研究主要有三大方面的突出进展： 1. 在切变湍流中发现了大尺度拟序结构[40，41]; 2. 在确定性非线性微分方程中可以获得渐近的不规则解; 3. 耗散结构理论是非平衡态热力学的一个重大发展;
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§5.2* 基本方程组的几种通用形式及粘性项的 计算
本节讨论目前气体动力学数值计算中最常用的基本方程组的微分与 积分型通用形式，其中包括直角坐标系与贴体曲线坐标系下微分形 式守恒型基本方程组以及有限体积法中常采用的积分形式。另外， 还特别给出了守恒型方程组坐标变换的一些重要特点以及有限体积 法中粘性项计算的技巧。
① 由于平板在x方向无限长，因此在任意一个平行于yOz平面上的 流动情况是一样的，故可认为 。
② 由于平板在z方向无限宽，又平板沿x方向移动，因此流场可以看
成是xOy平面上的流场，如图5.2所示，故可认为
。
③ 由于不考虑重力，故质量力为零。
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5.4.2 驻点附近的二维与三维流动
如图5.4所示，平板放在xOz坐标面上，不可压缩气体在远上方垂直 流向平板，并在处形成滞止点。
（1）分子运动的状态只取决于流体的热力学状态，它不受流体宏 观运动的影响，因此分子输运系数 与D等只取决于流体的固有 性质。而湍流运动的状态则与平均流场直接有关，因此湍流输运系 数 ，kt与Dt主要取决于流体的平均运动。