对于图2中盛有液体的桶，设桶内截面的直径为D。
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t时刻从桶中流出液体量应等于通过小孔的流量。设小 孔直径为d，则有：
t时刻，小孔上方桶内液体上表面到小孔中心的距 离为h，此时小孔上方桶内液体的体积为 因此：
联立三式，可得：
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变形可得： 设t=0时刻，液面相对于小孔的高度为H，则有：
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3. 测液体上方液面相对于小孔中心高度H所对 应的时间
将小孔封住。把桶放置在水平面上，在桶中 注入水，液面高度高于最高的标记M1。待液面 平静后，打开小孔，让水通过小孔流出。
当液体上方液面相对于小孔中心的高度为 H0时开始计时（t0=0），并记录液面高度分别为 Hi时对应的时刻ti（i=1,2,3,4,5），并填入表4中 （至少重复3次）。
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烧热一把螺丝刀，用它在矿泉水瓶上扎个孔，趁热插进一截圆珠笔芯
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效果不错，一点都不漏水。
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Δh t1 t2 t3
H0 91.0 0
0
0
H1 80.5 4.6 5 5.2
H2 70.0 11.5 12.0 12.2
H3 59.5 18.6 19.0 18.8
H4 49.0 26.1 26.8 27
H5 38.5 35.5 36.1 36.3
实测数据
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用测得的数据绘图，由图中直线可得斜率k
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触，压强相等（都等于大气压），所以pA=pB。此外，
容器内液体上方的截面积SA远大于小孔处的截面积SB，
据连续性方程(1)，vSB=v0 SA，所以v≫v0。因此，忽略
(3)式中的 ρv02/2，同时令
，得：
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由上式可得，小孔上方的液体上表面的高度h与小 孔处液体流速之间的关系：
以上即托里拆利定理。根据上述定理，小孔处液 体的流速和物体从相对小孔高为h的位置自由下落到小 孔处的速率相同。 3. 小孔上方液面高度和时间的关系
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表4：液体上表面相对于小孔中心高度随时间的变化
次数
1
2
3
用时
t0
t1
t2
t3
t4
t5
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4. 研究液体上方液面相对于小孔中心高度H随时间 的变化
根据表3和表4求出 和 （i=0, 1, 2, 3 ,4, 5），绘 制 和 的实验曲线，并根据最小二乘法求出实验 曲线的斜率k。
求出斜率k的理论值k0，计算k实验值相对于k理 论值k0的相对误差。
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一、实验目的 1、了解伯努利方程； 2、了解托里拆利定理； 3、研究液面高度随时
间的变化。
二、实验材料（建议） 圆柱形塑料桶，小刀， 水，米尺，笔芯之类。
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三、实验原理 1. 伯努利方程
理想流体在细管中稳定流动，忽略流体的粘滞性。 设流体密度为ρ，重力加速度为g，以管中一段位于A、 B之间的流体为分析对象（如图1所示）。 A处：流速为vA，压强为pA，沿着流速方向流体的截 面积为SA，相对于某水平面的高度为hA。 B处：流速为vB，压强为pB，沿着流速方向流体的截面 积为SB，相对于某水平面的高度为hB。
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对于不可压缩的流体
上式称为理想流体的连 续性方程.
此外，根据流体力学 的知识，借助能量守恒和 功能原理，可以得到如下 的伯努利方程：
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图1
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2. 托里拆利定理
如图2所示，圆柱形
的液体桶内径为D。桶壁
开有一个圆孔，孔内径为
d。上述圆桶放置在某水
平面S上，桶中盛满液体
（如水），液体密度为ρ。
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五、预习题 1. 假设圆柱形桶内直径为10cm，小孔内直径为2mm，桶 内液体液面初始时刻相对于小孔中心的高度为20cm。通过 底部的小孔，将小孔上方的液体排净，需要多长时间？ 2. 如果是方形的桶（长方体状），打开小孔，液体上表面 的高度和什么有关？能给出定量的表达式吗？
六、思考题 1. 为什么装满水的塑料瓶下方开孔，孔越小，水喷的越远？ 2. 为什么生活中，用来供水的水塔建的很高？
实验7 托里拆利实验
液体在生活中无处不在，并且液体一般盛放在容 器中，比如水。在近现代以前，一般用水桶来供水。 这种供水方式，即便是到了现在，依然在使用。在用 水桶供水时，为了使用的方便，会在水桶的下方开一 个小孔，在小孔处安装阀门或者水龙头，使用时将水 龙头打开即可。有时候，啤酒也装在类似的桶中。如 果打开水龙头，桶中的液体多长时间会流干净？今天， 我们一起通过下面的实验来研究一下。
在小孔上方桶壁上，设置六个用来表示液面高度 的标记，分别记为M0、M1、M2、M3、M4和M5。测量 标记Mi到到小孔中心的距离记为Hi，并填入表3中（至 少测量3次）。
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表3：液面标记Mk相对小孔中心的高度
次数
1
2
3
相对高度
H0
H1
H2
H3
H4
H5
注意：Hi随着i的变大而变小（i=0,1,2,3,4,5）。
表1：容器（桶）内径
表2：细管（小孔）内径
注意：细管的内径要显著小于桶的内径。。
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2. 桶壁开孔，设置液面计时标记 在桶壁上开一个小孔，插入上面准备好的细管(细
管的轴线尽量和桶的轴线垂直，或者说，注入液体后， 细管的轴线尽量与液体上表面平行)。插入后，将细管 外部与桶壁小孔边缘之间的缝隙用不透水的材料封好。
图2
某时刻t，桶内液体上表面对应的流速为v0，压强
为pA，沿着流速方向液体的截面积为SA，相对于水平
面S的高度为hA。
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同一时刻（即t时刻），小孔处流速为v，压强为 pB，沿着流速方向液体的截面积为SB，相对于某水平 面的高度为hB。由伯努利方程得：
桶内液体上表面和小孔处的液体均和外界大气接
积分可得： 上述关系也可以改写为：
上述关系给出了液面相对于小孔中心高度h和时间
t之间的关系，其中
。
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四、实验内容（含实验步骤、数据记录表、数据处理要求等） 1.测量圆柱形桶和细管直径
准备圆柱形的桶和圆柱形的细管(干净的笔芯或者 用其他圆柱形的细管)。测量桶和细管的内直径(内圆 柱面的直径)，分别填入表1和表2中(至少测量3次)。