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第四章部分习题解答

第四章部分习题解答
习题一 (P215)
4.已知从曲线的切线到切点的向径所成的角为定角α,
求该曲线所满足的微分方程。

解:设所求曲线的方程为)(x f y =,切点为),(y x M ,
则有x
y y y x y ⋅'+'-=α1tan ,即α+α-='tan tan y x x y y 。

5.设有一质量为m 的质点作直线运动,假定有一个和时间成正比的拉力作用在它上面,同时质点又受到与速度成正比的阻力作用,试求速度随时间变化的微分方程。

解:质点在运动过程中所受的力有两个: 一个是t k F 11=(1k 为正的常数); 一个是v k F 22-=(2k 为正的常数),2F 的方向与质点运动的方向相反。

因此作用在质点上的力v k t k F F F 2121-=+=。

另一方面,由牛顿第二定律可知,dt
dv m
ma F ==, 故得微分方程:v k t k dt dv m 21-=。

习题二
6.一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任意切线线段被切点所平分, 求此曲线的方程。

解:设所求切线方程为)x (f y =,切点为)y ,x (M ,则由题意可知: 切线与x 轴的交点为)0 ,x 2(A ,切线与y 轴的交点为)y 2 ,0(B , 故得微分方程:
x 200y 2dx dy --=,即x y dx dy -=,且3y 2x ==。

分离变量,得x
dx y dy -=,两端积分得C xy =。

代入初始条件3y 2x ==,得6C =,故所求曲线的方程为6xy =。

7.一汽船在h km 10的速度运动时停止了发动机,经过s 20后船的速度减至h km 6,已知水的阻力与汽船运动的速度成正比,试问发动机停止min 2后船的速度是多少?
解:设汽船在发动机停止t 小时后的速度为)h km (v ,则有 kv dt
dv m -=,且10v 0t ==。

解方程得通解:t m k Ce v -=, 把10v 0t ==代入上式,得10C =,故t m k e 10v
-=。

把6v 360020
t ==代入上式,得360020m k e 106⋅-=,
解得35ln 18035ln 360020m k =⋅=,故t 35
ln 180e 10v -=。

当)h (301602t ==时,35
ln 630135ln 180e 10e 10v -⋅-==467.0)5
3(106≈=)h km (。

8.镭的衰变规律是:衰变速度与镭的剩余量成正比,已知镭的原有量为o m ,经过1600年后,只剩下原有量的一半,求镭的衰变规律。

解:设镭的衰变规律为)t (m m =,则有
km dt dm -=,o 0t m m ==,o 1600t m 21m ==。

解之得方程的通解k t Ce m -=,
把o 0t m m ==代入通解得o m C =,故k t o e m m -=。

把o 1600t m 2
1m ==代入上式,得k 1600o o e m m 21-=, 16002ln k =, 故镭的衰变规律为t 16002ln o e m m -=,即1600t o )2
1(m m =。

习题三
5.一质量为m 的物体,一倾角为α的斜面上由静止下滑,磨擦力为Lp kv +,其 中v 为速度,p 为物体对斜面的正压力,L ,k 为常数,求速度的变化规律。

解:将物体的重力mg 按与斜面平行和垂直两方向分解成两个分力,与斜面平行 的分力为αsin mg ,与斜面垂直的分力为αcos mg , 则磨擦力α+=+=cos Lmg kv Lp kv , 由牛顿第二定律可得 α--α=cos Lmg kv sin mg dt dv m , 故得初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧=α-α=+=
0v )cos L (sin g v m k dt dv 0t 。

]C dt e )cos L (sin g [e v dt m k dt m k +⎰⋅⎰α-α⎰=- ]C dt e )cos L (sin g [e t m k t m k +α-α=⎰-
]C e )cos L (sin k mg [e t m k t m k +α-α=- t m k Ce )cos L (sin k mg -+α-α=。

把初始条件0v 0t ==代入通解,得)cos L (sin k mg C α-α-=, ∴特解为)e 1)(cos L (sin k mg t m k --α-α=。

6.设)y ,x (P 是连接)0,1(B 和)1,0(A 两点的一条上凸曲 线上的任一点,已知曲线与弦AP 之间的面积为3x , 求此曲线方程。

解:设曲线方程为)x (f y =,则有 3 x
0 x 2
x ]1)x (f [f (t)dt =⋅+-⎰, 将方程两边对x 求导,得
2x 3]1)x (f )x (f x [2
1)x (f =++'-,且0)1(f =。

1x 6)x (f )x (f x 2--=-', x
1x 6)x (f x 1)x (f --=-', ]C dx e )x 1x 6([e )x (f dx x 1dx x 1+⎰--⎰=-⎰ ]C x
1x 6[x ]C dx )x 1
6([x 2++-=+--=⎰, 即1Cx x 6)x (f 2++-=。

把初始条件0)1(f =代入,得5C =, 故所求曲线方程为1x 5x 6)x (f 2++-=。

7.(3)设可微函数)x (f 对任何x ,y 恒有)y (f e )x (f e )y x (f x y +=+,且2)0(f =', 求)x (f 。

解法1:令0y x ==,得)0(f 2)0(f =,故0)0(f =。

y )x (f )y (f e )x (f e lim y )x (f )y x (f lim )x (f x y 0
y 0y -+=-+='→→ y )]0(f )y (f [e ]1e )[x (f lim x y 0
y -+-=→
y )]0(f )y (f [e lim y ]1e )[x (f lim x 0
y y 0y -+-=→→ )0(f e )x (f x '+=,
故得初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧=+='
0)0(f e 2)x (f )x (f x ]C dx e e 2[e )x (f dx x dx ⎰+⎰⋅⎰=- ]C x 2[e ]C dx e e 2[e x x x x +=+⋅=⎰-, 把初始条件0)0(f =代入上式,得0C =, ∴x xe 2)x (f =。

解法2:在)y (f e )x (f e )y x (f x y +=+中,令0y x ==,得0)0(f =。

把)y (f e )x (f e )y x (f x y +=+的两边对y 求导, 得)y (f e )x (f e )y x (f x y '+=+', 令0y =,得)0(f e )x (f )x (f x '+=' ∵2)0(f =',
∴x e 2)x (f )x (f =-'。

下面的步骤同解法1。

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