2009年高考天津数学理科试题及参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。

解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-，故选择D 。

（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（A ）6 （在点B )1,2(，所以734min =+=z ，故选择B 。

（3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。

解析：由题否定即“不存在R x ∈0，使020≤x ”，故选择D 。

（4）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A. 在区间1(,1),(1,)e e内均有零点。

B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。

C. 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D. 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。

解析：由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D 。

（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A. 26B. 35C. 40D. 57 【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。

解：当1=i 时，2,2==S T ；当2=i 时，7,5==S T ；当3=i 时，15,8==S T ；当4=i 时，26,11==S T ；当5=i 时，40,14==S T ；当6=i 时，57,17==S T ，故选择C 。

(6）设0,0.a b >>11333aba b+是与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D14【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。

【解析】因为333=⋅ba，所以1=+b a ，4222)11)((11=⋅+≥++=++=+b a a b b a a b b a b a b a ，当且仅当b a a b =即21==b a 时“=”成立，故选择C（7）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。

解析：由题知2=ω，所以)8(2cos )42cos()]42(2cos[)42sin()(πππππ-=-=+-=+=x x x x x f ，故选择A 。

（8）已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞ 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。

以及一元二次不等式的求解。

解析：由题知)(x f 在R 上是增函数，由题得a a >-22，解得12<<-a ，故选择C 。

（9）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点M （3，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2的面积之比BCFS S ∆（A ）45 （B ）23 ）47 ）12解析：由题知12122121++=++==∆∆B ACFBCFx x ACBC S S，又323221||-==+=B x BF 由A 、B 、M 三点共线有B M A M x x y y x x y y ----即23330320-+--AA x x ，故-10∴5414131212=++=++=∆∆A B ACF BCF x x S S ，故选择A 。

（10）a b +<<10,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则（A ）01<<-a （B ）10<<a （C ）31<<a （D ）63<<a 【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式2()x b -＞2()ax 即02)1(222<-+-b bx x a ，它的解应在两根之间，故有04)1(4422222>=-+=∆b a a b b ，不等式的解集为11+<<--a bx a b 或110--<<+<a b x a b 。

若不等式的解集为11+<<--a bx a b ，又由a b +<<10得110<+<a b ，故213-<--<-a b ，即312<-<a b二、填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。

已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取____名学生。

【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。

解析：C 专业的学生有4004203801200=--，由分层抽样原理，应抽取401200400120=⨯名。

（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则=a _______【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。

解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a 的等腰三角形，所以有333322=⇒=⨯a a。

(13) 设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。

解析：由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为510310|24|=+。

(14)若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为，则=a ___________。

【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。

解析：由知22260x y ay ++-=的半径为26a +，由图可知222)3()1(6=---+a a 解之得1=a(15)在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD 的面积是【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。

解析：由题知四边形ABCD 是菱形，其边长为2，且对角线BD 等于边长的3倍，所以21222622cos -=⋅⋅-+=ABD ，故23sin =ABD ，323)2(2=⋅=SABCD 。

（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。

解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901333143323=+C A C A C 种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23413332313143323=+C A C C C A C 种，所以共有32423490=+个。

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）在⊿ABC 中，AC=3，sinC=2sinA(Ⅰ) 求AB 的值； (Ⅱ) 求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

满分12分。

（Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，sin sin AB BCC A=于是sin 225sin CAB BC BC A===（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得22225cos 25AB AC BD A AB AC +-==•于是25sin 1cos 5A A =-=从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-= 所以2sin(2)sin 2coscos 2sin44410A A A πππ-=-=（18）（本小题满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。

从这10件产品中任取3件，求：（Ⅰ） 取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （Ⅱ） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

满分12分。

（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为3k C，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为337k k C C-，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为337310(),0,1,2,3k k P X k k C CC-===所以随机变量X 的分布列是 X123P7242140 740 1120 X 的数学期望721719012324404012010EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1“恰好取出2件一等品“为事件A 2，”恰好取出3件一等品”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3而1233123310371(),()(2),()(3)4040120P A P A P X P A P X C C C========, 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为12337131()()()()4040120120P A P A P A P A =++=++=+407+1201=12031（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中， FA ⊥平面ABCD , AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD （Ⅰ）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （Ⅱ）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （Ⅲ）求二面角A-CD-E 的余弦值。