江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析）题型一：平面向量的共线定理（1）平面内有一个ABC ∆和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF ,的最小值为______.（3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______.（4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=，且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______.（5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______；y = ．（6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．（7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 .答案：（1）()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c =+- ABC ∆M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+（2）21 （3）12-（41（5）11,26- （6）12（7）3-（8）（9）1344m <<解析：如图所示，设14AE AB =，过点E 作//EP AC ，分别交,AD BC 于点,Q P ，分别过,Q P 作//,//QR AE PF AE 交AC 于,R F ．则13,,44AR AC AF AC ==∵14AM AB m AC =+⋅，M 在ACD ∆的内部（不含边界），∴点M 在线段QP 上（不含点,Q P ），当点M 取点Q 时，1144AM AQ AB AC ==+，可得14m =，而M 在ACD ∆的内部（不含边界），因此14m >．当点M 取点P 时，1344AM AB AC =+，此时可得34m =，而M 在ACD ∆的内部（不含边界），因此34m <．∴1344m <<．所以答案应填：1344m <<．题型二： 坐标法在向量中的应用（1）已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且414AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于________．（2）在等腰直角ABC ∆中，90=∠ABC ，2==BC AB ，N M 、为AC 边上两个动点，且满足2||=MN ，则⋅的取值范围为 . （3）如图，在直角梯形中，，，，是线段上一动点，是线段上一动点，，，则的取值范围是___________．（4）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=_________．（5）如图，在等腰直角三角形ABC 中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AN MP 的取值范围为_____________．（6）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为_________．（7）在ABC ∆中，2,6CA CB ==，60ACB ∠=. 若点O 在ACB ∠的角平分线上，满足OC mOA nOB =+，,R m n ∈，且20141-≤≤-n ，则OC 的取值范围是 ． （8）设四边形ABCD 为平行四边形，||6AB =，||4AD =，若点,M N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=________．答案：（1）13（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：如图，分别以,BC BA 所在边的直线为轴,y 轴建立直角坐标系,则(0,2),(0,0),(2,0)A B C ,直线AC 的方程为20x y +-=，设(,2)M t t -，(1,1)N t t +-,ABCD //AB CD 2AB =1AD DC ==P BC Q DC DQ DC λ=(1)CP CB λ=-AP AQ则01t ≤≤,所以(,2),(1,1)BM t t BN t t =-=+-,213(1)(2)(1)2()22BM BN t t t t t ∴⋅=++--=-+,由于01t ≤≤,所以当12t =时有最小值为32,0t =或1t =时有最大值为,故答案为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）解析：建立平面直角坐标系如图所示，则．因为 ，所以，所以，,所以 .（4）4 （5）3344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（6）7 （7）⎥⎦⎤⎢⎣⎡433,43 （8）9题型三： 平面向量中的最值、范围（1）平行四边形中，为平行四边形内一点，且[0,2]ABCD 60,1,BAD AB AD P ∠===，若，则的最大值为．（2）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线与,AB AC两边分别交于,M N 两点，且,则x y+的最小值为．（3）如右图所示，已知点G是ABC∆的重心，过点G作直线与,AB AC两边分别交于,NM两点，且,AM xAB AN yAC==，则2x y+的最小值为．（4）已知向量,a b不共线，为实数. 若||||1a b==，且与的夹角为120，实数1[1,]2x∈-，则||a xb-的取值范围为．（5）若直线10()ax y a a R+-+=∈与圆224x y+=交于A、B两点（其中O为坐标原点），则AO AB⋅的最小值为．（6）在平面上，121212,1,AB AB OB OB AP AB AB⊥===+．若12OP<，则OA的取值范围是．（7）已知向量a、b, ｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e,则a·b的最大值是．答案：（1解析：对两边平方可得()()22AP AB ADλμ=+可化为222222AP AB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+，据已知条件可得22122322λλμμλμ=++≥，即2λμ≤，又()22212223λλμ=++=≤，则3λ≤.故本题填3（2）43（3）33+2AP=),(R∈+=μλμλλ+ABC∆,AM xAB AN yAC==),(R∈+=μλμλ（4）[22解析：由1||||cos1202a b a b ⋅=⋅⋅=-，则22222||21a xb a x b xa b x x -=+⋅-⋅=++，因为1[1,]2x ∈-，当12x =-时，||a xb -的最小值为2当12x =时，||a xb -所以||a xb -的取值范围是（5）4解析：直线01=+-+a y ax 可化为)1(1--=+x a y ，恒过定点()1,1-C ,圆422=+y x 圆心为()0,0径为2，∴()2242⨯⨯-=∙-=-∙=∙=∙，当OCAB ⊥时，最小，取最大值，此时44-=∙取最小值，此时OC 的斜率为1-，由垂直关系可得1-=a ，解得1-=a ，故此时直线方程为11-=+x y ，即2-=x y ，联立⎩⎨⎧=+-=4222y x x y ，解得⎩⎨⎧-==20y x ，或⎩⎨⎧==02y x 取最小值2π，取最大值0，此时44-=∙最小值4（6）⎝ （7）12解析：221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。