O
r
F
M M1 M 2 M 3
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M＝ Mi
第5章 刚体力学基础 动量矩
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
d
ri
F ji i F
ij
rj
j
Mij M ji
第5章 刚体力学基础 动量矩
A
mA FN F T1 mA O x PA FT1 FC
PC
FT1
C
mC FT2
FT2
第5章 刚体力学基础 动量矩
转过的圈数 （2）t
75π N 37.5 r 2π 2π

6s 时，飞轮的角速度 π 1 1 0 t (5π 6)rad s 4π rad s 6
t （ 3）
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 转动定律（law of rotation）
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定轴转 动的动力学规律。 1）单个质点 m与转轴刚性连接
Fτ maτ mrα
M rF sin
M rFτ mr2α
M mr
2
M
O
z
r
m
Fτ
Fn
F r sin φ f r sin θ (Δm r
i 1 i i i i 1 i i i i 1
N
2
i i
)α
内力矩 外力矩 根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
i 1
f i ri sin i 0
N
第5章 刚体力学基础 动量矩
r
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
J
l 2 0 r dr
1 2 ml 3
第5章 刚体力学基础 动量矩
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
F
F
第5章 刚体力学基础 动量矩
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 z F Fz F F 其中 Fz 对转轴的力 k Fz
矩为零，故 F 对转轴的 力矩
讨论
M z k r F M z rF sin
m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性
第5章 刚体力学基础 动量矩
3. 转动惯量
J Δmi ri2 , J r 2dm
i
物理意义：转动惯性的量度 . 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
J Δmi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
Fi sin φi f i sin θ i Δ m i a iτ Δ m i ri α
physics
用
ri 乘以上式左右两端： 2 Fi ri sin φi f i ri sin θ i Δ m i ri α
N N
第5章第 刚体力学基础 动量矩 1章 质点运动学
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程，将N 个方程左右相加，得：
得到：
F r sin φ (Δm r
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)α
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
转动定律
dω M Jα J dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
第5章 刚体力学基础 动量矩
2.刚体的基本运动
刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间 的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线 .
刚体平动
质点运动
d rB d rA d AB d vB d v A vB v A a A aB dt dt dt dt dt
第5章 刚体力学基础
第5章 刚体力学基础 动量矩
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
第5章 刚体力学基础 动量矩
一、 刚体的基本运动
1.刚体概念（rigid body ） 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 说明： ①刚体是一个物体，可视为由许多质点组成；因此 研究质点系的方法和得出的一般结论均适合刚体。 ②刚体是物理学中的一个理想模型，绝对的刚体是 不存在的。
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
O
M
z
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的矢径 . Z 的力矩 F 对转轴 单位：N m 牛顿米
M r F
r
F
*
d
P

第5章 刚体力学基础 动量矩
Fr sin Fd 方向：右手螺旋法则 d : 力臂
dω 讨论： M Jα J dt α （1） M 一定，J
转动惯量是转动
惯性大小的量度； （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； （3）转动惯量的大小取决于三个因素：
刚体的质量、转轴的位置及质量对轴的分布。
（4）转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。
M J 与 F ＝ma 地位相当
d
C
m
O
J O J C md
2
1 圆盘对P 轴 J P mR 2 mR 2 的转动惯量 2 NhomakorabeaP
R O m
第5章 刚体力学基础 动量矩
例4 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 mB mC 量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦 力可略去不计. 问1）两物体的线加速度为多少？ 水平 和竖直两段绳索的张力各为多少? 2）物体 B 从 静止落下距离 y 时， C A mA 其速率是多少？（3） mC 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 M f 再求线加速度及 mB B 绳的张力.
d lim t 0 t dt
方向:

右手螺旋方向
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体定轴转动（一 维转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表 示. 角加速度

>0
z

z

<0
d dt


定轴转动的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度

：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
第5章 刚体力学基础 动量矩
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
l 2
r
l
dr O´
d r O´
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
该点的切向加速度和法向加速度
an rω 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
π 2 2 aτ rα 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2
第5章 刚体力学基础 动量矩
二、力矩
F
转动定律
a
？
α
1.力矩（ torque）
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解 （ 1） 0 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5π π 1 2 rad s rad s t 30 6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 75π rad 2 2 (π 6)
3） 运动描述仅需一个坐标 .
第5章 刚体力学基础 动量矩
4 .匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
2
v v0 at
x x0 v0t at
1 2
2 2 0
0 t 2 1 0 0t 2 t
2 2 0
v v 2a( x x0 ) 2 ( 0 )
第5章 刚体力学基础 动量矩
5 . 角量与线量的关系 2 d d d 2 dt dt dt


Δs rΔθ v rωτ aτ rα 2 a rατ rω n tan
角速度矢量
ω
ω
M
平面 动 转 o
线速度与角速度的关系 v
θ
参
r
v
ω
o´
考方 向
x
=
ω
× r