.小学数学教学案例研究第二讲什么是数学思考，如何激发学生的数学思考俗话说:三思而后行。

我们干任何一件事都要经过思考，思考的过程除了需要干这件事涉及的专业知识之外，主要是靠逻辑思维，逻辑学就是专门研究思维规律的一门科学。

在中小学由于不开设逻辑学，对学生逻辑基础知识的教育主要渗透到语文、数学等课程中，所以培养学生的逻辑思维能力就成了数学课程的重要任务。

1902年（清光绪28年）清政府颁布的《钦定初等学堂章程》中要求算学课程除教授算术知识外，还要“兼使精细其心思”，1952年政务院教育部颁布的《小学算术教学大纲（草案）》就指出“应该培养和发展儿童的逻辑思维”，1956，1963，1978，1986，1991年的教学大纲都提出“培养初步的逻辑思维能力”的要求。

我们知道，逻辑思维的基本方式是归纳、演绎，小学数学教学中由于受教学内容和学生年龄的限制，这两点很难实现，所以“培养初步的逻辑思维能力”就成了小学数学教学难以承受之重。

人的思维形式是多样的，除了逻辑思维，还需要直觉思维，合情推理（如不完全归纳、类比推理等），所以1999年颁布的《义务教育小学数学教学大纲（试验修订稿）》中删去了“逻辑”二字，确切地说，小学数学教学中应该鼓励学生用多种思维方式思考问题，设计不同的情景培养学生的思维能力，当然也包括逻辑思维。

2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》第一次提出“数学思考”，与“知识与技能”、“问题解决”、“情感与态度”并列为数学教学的四大任务之一。

在课程总体目标的具体阐述中从发展抽象思维，形象思维，数据推断，合情推理，演绎推理等方面提出了明确的要求。

2011版的课标把“数学思考”纳入“过程目标”的范畴，明确用“经历”、“体验”、“探索”等行为动词来表述，并且作了文字上的整理，基本含义不变。

那么，什么是“数学思考”呢？所谓数学思考，就是在面临各种现实的问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度去思考问题，也就是能够自觉应用数学的知识、方法、思想和观念去发现其中所存在的数学现象和数学规律，并能够运用数学的知识和数学的思想方法去解决问题。

数学思考作为一种“过程性目标”，实际上是让学生经历“做数学”的过程，也就是让学生经历发现问题和提出问题、分析和解决问题的过程。

数学思考是学生进行数学学习的核心；让学生经历数学思考的过程，是唤起学生对数学的好奇心，激发并维持学生主动和自主学习的根本保证；是提高学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的有力措施；是培育学生实践能力和创新意识的有效途径。

一，案例分析案例1：“商的变化规律”教学片断“商的变化规律”这节课的主要内容有三个，一是被除数与除数同时乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变；另一个是被除数乘以（或除以）一个数（0除外），除数不变，商也同时乘（或除以）相同的（0除外）；第三个是被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），商同时除以（或乘）相同的数（0除外）。

针对以上三个内容，教师设计了三个核心环节核心环节1（1）教师先出示以下3个算式，并要求学生口算。

①14÷2=②140÷20=③280÷40=（2）引导学生观察、思考、总结商不变的规律。

（3）然后教师再启发组织学生运用刚发现的规律解决下面的问题。

①72÷9= ①8000÷400=②720÷90= ②800÷40=③7200÷900= ③80÷4=考虑到“商的变化规律”的抽象性，教师从简单的具体的实际问题出发，为学生提供已经学过的除法运算的这一教学问题情景，让学生经过计算，观察，思考，总结规律，进而用自己总结的规律去解决新的问题，坚定对规律的认识。

教学中，当学生面对三个不同的算式、得数一样，就自然引起了学生探究的欲望，这就提出了一个好问题。

为什么商不变，由于被除数，除数同时发生了变化，而且是发生了同样的变化，引导学生把这一变化的过程用自己的语言表述出来，为了打消学生对这一发现的疑问，老师随即安排下面练习。

核心环节2（1）计算下面两组算式，引导学生发现商的变化规律。

①16÷8= ①200÷2=②160÷8= ②200÷20=③320÷8= ③200÷40= （2）让学生思考归纳商的变化规律。

（教师提问：提过上述的为探究活动，你能用自己的话有条理地说说这些变化规律？）数学思考的过程就是教师引导学生发现和提出问题，分析和解决问题的过程，所以创设良好的问题情境是十分重要的，环节1已经提供了好的思路，环节2中教师继续引导学生沿着这条路径走下去，在学生总结出了变化规律以后，不再进行验证，可以节约时间，但是对每组题从上向下观察，是被除数扩大若干倍，从下向上观察就是被除数缩小若干倍，这一点在教学中一定不要忽视，不能只在总结规律顺便提一下。

核心环节3综合归纳总结规律并板书。

被除数÷除数 = 商同时乘（或除以）相同的数（0除外）不变乘（或除以）一个数（0除外）不变乘（或除以）一个数（0除外）不变乘（或除以）一个数（0除外）除以（或乘）一个数（0除外）环节2最后老师提出的问题是理解型，分析型和综合归纳型的提问，是整个设计的提升点和关键点，要留给充足的时间和空间。

可安排学生分组一条一条归纳，整理，交流，修改等，在这一点上，教师的教学设计过于笼统，让学生把教学中的乘，除以转化成生活中的扩大，缩小也是十分必要的，这样商的变化规律也可以为学生以后学习分数的性质，比的性质，中学学习分式的性质，以及解决一些非数学问题都有意义，这一点老师在教学中也考虑不周。

总的来看，该教学活动的设计层次分明，逐级推进，从具体到抽象，为学生创造了良好的思考环境，能促进学生数学思考的力度。

案例2：“质数与合数”教学实录“质数与合数”第一课时的教学内容有两点，一是质数、合数的概念，二是用概念判断那些数是质数，那些数是合数。

核心环节1：师：同学们，今天我们学习“质数与合数”，（板书：质数与合数）你们看到这个课题，想到提出什么问题？生：我们想问质数、合数是什么意思？质数与合数有什么特征？是、合数与奇数、偶数有什么关系？师：同学们有这么多问题，说明大家都是能积极思考的好孩子，今天老师告诉你们，我们已研究问题总有一个方向，比如看2的倍数，我们先看个位数的特征，比如看5的倍数，我们也看个位数的特征，比如看3的倍数，我们就看各数位上的数字和的特征。

那么研究质数与合数从哪里下手呢？非常简单，从它的因数入手，现在请同学们拿出一张纸，写出1,2,3，，，，20，把每个数的因数写迟来，我们加以研究。

生（写因数，教师巡回指导）以上这个教学环节，表面上看老师抛出了很多问题，细细分析有的问题并不能引起学生的数学思考，不利于培养学生的发现和提出问题的能力，要启发学生思考，就要创设一个良好的“问题情境”，这里老师只是提出了问题，而没有情境，这是教学中经常出现的“不良现象”。

核心环节2：师：我们研究质数与合数，就要研究它的因数的个数，同学们观察一下他们的因数的个数。

生1:1只有一个因数生2:2、3、5、7有两个因数生3:4、9有三个因数生4：6、8、10有四个因数…………师：同学们看有两个因数的数，它们的因数有什么特点？生：一个是1，另一个是它本身师：同学们再看一下，有三个、四个、五个因数的数，因数有什么特点？生：一个是1，另一个是它本身，还有其他的数，不一定是几。

师：同学们能不能根据这20个数的因数个数的多少，把它们分类，你觉得分成几类好？生1：两类生2：三类生3：四类…………师：有一种类型很有特色，就是因数只有1和它本身，同学们找一找都有谁？生：2、3、5、7、11、13、17、19 师：这些数该不该作为一类？生：该。

师：其他的数的因数的特点是什么？生：除了“1和它本身”外，还有别的因数。

师：这该不该作为一类？生：该。

生：那数1怎么办？师：数1,作为一类，只有一个，没什么用处。

我们今天研究的是质数、合数，从大于1开始，分为两类，一类叫质数，另一类叫合数。

同学们想一想，怎样说明什么叫质数，什么叫合数？从教学流程看，教师通过一个一个的问题引导学生进行思考，由于教师的问题缺乏技术含量，或者教师一语道破玄机，学生只是机械地跟着老师走，甚至给人一种老师“绑架”了学生的感觉。

整个过程没有引导学生经历数学思考的过程，没有唤起学生对数学的好奇心，也没有激发学生主动和自主学习的愿望，更不用说培养学生的实践能力和创新的精神了。

当然，作为一节学习“概念”的新授课，单纯从学知识的角度看，似乎没有什么不当之处，但按照“新课程”的精神和要求培养学生“数学思考”的教学目标来衡量，这确实不是一节好课。

我们可以从“数学思考的价值和策略”的角度对此作以改进。

质数与合数的概念的定义中的“关键词”是“因数”，为什么要用“因数”来表示这个概念，这是一个很有思考价值的问题，而因数是表示积的，学生学过长方形面积公式s=ab，a，b就是s的因数，可否让学生准备若干个大小一样的小正方形纸片，分成几组，每组拿出几个小纸片，摆成长方形，看能摆出几组不同形状的长方形，有的只能摆出一种形状，有的可以摆出几种形状，然后转化成数量关系，例如2=1×2,3=1×3，而4=1×4或4=2×2，还有6=1×6,6=2×3,……只有一种形状作为一类有多种形状作为另一类，这种，无论是找因数，还是对因数的个数进行分类，都是自然而然，水到渠成的事，整个教学过程让学生亲手实践，自主探究，合作交流，也符合“新课程”所提倡的学生学习数学的学习方式。

二、经验推介真正有效地让学生进行数学思考，教师必须将“数学思考”目标作为课堂教学设计与实施的一个基本出发点。

以此为基础，教师至少要做到以下几点。

1、努力创设问题情景问题是数学的心脏，问题是引发学生数学思考的前提，一个好的数学问题情景或一组好的数学问题，更容易引发学生积极思考。

而好的问题情境要具备新颖性、挑战性和可行性。

应该明确的是，不仅是现实的、生活的题材可以作为问题情境，数学本身的内容也可以而且应该作为问题情境。

2、精心设计核心问题核心提问是支撑学生数学思考、乃至整个数学教学活动的教师提问，是对所创设的问题情境的逐级细化和深入，是教师激发学生数学思考的直接推手，是引导学生进行有效思考的线索，是教师进行有效教学的直接体现。

3、为学生提供充分思考的时间和空间这主要表现在：教师不要直接给出问题的思考思路；教师不要轻易肯定或否定学生的想法；教师要适时把学生提出的问题和具体想法呈现给其他学生，让大家共同交流和探究。