思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
y
o
R (x, y) x
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例2. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R
30
y
ox
R x
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已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A( x)
ax
bx
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特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V
b
的体积.
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
b2
y2 (1
x2 a2
)
z2 c2 (1
x2 a2
)
1
它的面积为
c
xo
a
b
因此椭球体体积为
V
2
a 2
)
d
x
2
bc
x
x3 3a 2
a
0
4 abc
3
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
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例3. 求曲线 y 3 x2 1 与 x 轴围成的封闭图形
[
f
(
x)]2
dx
a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
o ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d [ ( y)]2dy c
y
d y x (y)
c
o
x
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例1. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
36 2
21
(1x
2x12))22
dd
xx
24482
(x2
1) 2
d
x
00
15 1
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绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研)
解: 利用对称性 , 在第一象限
y
x2 2, 4 x2 ,
0 x 1 1 x 2
yB 3 A
故旋转体体积为
V 32 4 2 1 [3 (x2 2)]2 d x 0
C
o 1 2x
2 2 [3 (4 x2 )]2 d x 1