第一章 行列式习题答案二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案1.计算下列二阶行列式 （1）23112=； （2）cos sin 1sin cos θθθθ-=；（3）1111121221212222a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b1221122112211221a a a b b a b b （4）1112111221222122a ab b a a b b +1122112212211221a a b b a a b b2.计算下列三阶行列式（1）10312126231-=--；(2)11121322233233a a a a a a a 112233112332a a a a a a 1122332332a a a a a（3）a c bba cc b a3333a b c abc3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.123t 112217t（3）()()()12322524212n n n n ---当n 为偶数时，2nk ，排列为143425212221223412k k k k k kk k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 22(1)1313142n kkkkk kn其中11(1)(1)k k 为1434252122k k k k --+的逆序数；k 为21k与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k为23,25,,2(21)k k kk 与它们前面数构成的逆序数的和；113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21nk ，排列为142345212223225412k k k k k kk k ++++++1122t k k(1)21k k 2213323432n kkkkk kn其中1122k k 为1423452122k k k k +++的逆序数；(1)21k k 为23,25,,2(21)k kkk 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和.4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5ij，()()23162431655t i j t ==为奇排列.5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -6.按定义计算下列行列式：（1）0001002003004000(4321)(1)2424（2）00000000000a c db (1342)(1)abcd abcd7. 求1230312()123122x x f x x xx-=的展开式中4x 和3x 的系数.4x 的系数为6；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x ，所以3x 的系数为(4231)(1)3(3)119t行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：（1）200819861964200919871965201019881966；解：32212008198619641110111r r r r D(2)123123123111a a a a a a a a a +++；解：2312323231(1)1111a a D a a a a a a a 各列加到第一列后提取公因式21312312331(1)0101r r r r a a a a a a 123(1)a a a（3）41232013201116011601110111031023500r r D213314116116(1)111027350818r r r 20（4）21120111011161126111211221110100c c D3141101100(1)26126116221223c c .（5）00100101D αβαβαβαβαβαβαβ++=++.()401100101D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-+++ 32212D D D D D 4322342.证明：（1）011=++++=cb adb a dcd a c b d c b aD １１；证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有1111(1)01111a b c d a b b c a d b c Dabcd c d a b c d dabcda １１１１（2）33()ax by ay bzaz bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy ++++++=++++. 证明：左式12axayazbybzbxay bzaz bx ax by ay bzaz bx ax by D D az bx ax by ay bz az bx ax by ay bz=+++++++=+++++++311r br xy zx y z D a ay bzaz bx ax by a ay bz az bx ax byaz bx ax by ay bzazaxay-=+++=++++++23223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a yz x zxyzxyzxy-=+++== 类似有1323322(1)r r r r yz x x y z D b zx y yz x xyzzxy ←−→←−→==-,所以33()ax by ay bzaz bxx y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy++++++=++++ 3.计算n 阶行列式（1）n D =ab b b b a b bbb a bb b b a ...........................； 各行加到第一行后提取公因式有：111...1...(1).....................nba b bD an b b b a bb b b a211111 (10)0 0(1)00...0 000...n r br r br a b an b ab a b1(1)n a n b ab（2）12121212n na n a n D n a ++=+12(0)n a a a ≠.211212111212121211210012000nn nr r n r r r nr r a a nna na a a n a a aa a a a a a a -----+++++--==--1112221211n n n n i i a na ia a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 4.利用范德猛行列式计算：1111123414916182764D =.2222333311111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------=克拉默法则部分习题答案1.用克拉默法则解线性方程组（1）122313223(0)0bx ax abcx bx bc abc cx ax ；解：002350ba D cb abc ca，212023500ab a D bc c ba bc a22200350b ab D bc b ab c c a ，220250ba ab Dc bc abc c123,,x a x b x c（2）123412341234123432125323348246642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩.解：132125321734826164D --==----,1132135323444822164D --==----211212332034826264D --==---,3131125321734426124D ==---,13212533853*******D --==---12342,0,1,5x x x x =-===2.当λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++0 00433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：3410(1)(3)01D，（1）1且3时0D ，该齐次线性方程组只有零解。

（2）要使该齐次线性方程组有非零解，则1或3时。

经验证，1时方程组有非零解，1231,1x x x ===-就是一组非零解.3时方程组有非零解，1233,1,3x x x ===-就是一组非零解.第一章自测题与答案 第一章自测题一.判断题（每题3分，共15分）1.14231423324132410000000000a a a a a a a a =-. ( 错 ) 2.在四阶行列式4ij D a = 中，23a 的余子式23M 与代数余子式23A 互为相反数. ( 对 )3.1112131112132122232122233132333132331,1,a a a b b b a a a b b b a a a b b b ==-则1111121213132121222223233131323233330a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++=+++.（错） 4.1112132122233132331a a a a a a a a a =,则1323331222321121311a a a a a a a a a =. （ 错）5. 21241644164236207188160116011222122212r r D +-==⨯---- . （ 对 ）二.填空题（每题4分，共16分）1.已知1112132122233132331a a a a a a a a a =-，则 2212121212223212223111213211121311121321222331323331323331323322424442r c r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⨯⨯←−→==-= 2.已知1112132122233132332a a a a a a a a a =，则 1213111311122122232131223223332223212321220a a a a a a a a a a A a A a A a a a a a a121311131112212223323331333132a a a a a a a a a a a a a a a 2121222223232121222223232a A a A a A a A a A a A3. 由行列式确定的多项式xx x x x x f 1112231111234-=）（中34x x ，的系数分别为 8,-6含3x 的项为(2134)3(1)3126t x x xx4.12323118312三 .计算下列行列式（各10分，共40分）1.216410621112212D -=--；解412216410621011201310r r D +-=()12162111121310+-=-213121620732302514r r r r ++-=-= 2.222222222222111111111111a a ab b bDc c c dd d（）（）（）（）（）（）（）（）；解：1232222221211212112121121211c c c c a a a b b b Dc cc dd d13222222112211022112211c c a a b b cc d d3.2n aba b D b aba=；解：按第一行展开后再按最后一行展开，有()211212222222(1)(1)n n n n n ababa b a b D a bb ab aba ba -++--=+--即有()2222(1)n n D a bD-=-，所以()()()()212222222222(1)2(2)2n nn n n D a bDa bD a bD a b---=-=-==-=-4. 121212nn n n a a a a a a D a a a λλλ++=+.解：2111212122000n nr r n n n r r c c c n a a a a a a a a D λλλλλλλλ--++++++++-==-()112n n a a a λλ-++++四．（10分）设ij nD a =为n 阶行列式， ijnB a =-,ijnG ka =（k 为非零数）,1.讨论,B D 的关系；2. 讨论,G D 的关系.解：1112111121(1)1,2,,21222212221212(1)(1)i n n r i nn n nn ijnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a B a D a a a a a a ⨯-=------=-==-=----1()11121111211,2,,21222212221212i r n n k i nn n nn ijnn n nnn n nnka ka ka a a a ka ka ka a a a G ka k k D ka ka ka a a a ⨯=====五.（10分）1110211213211211D --=-,求21222324A A A A +++. 解：2122232421222324111011111111713211211A A A A A A A A -+++=⨯+⨯+⨯+⨯==--六.（7分）设齐次线性方程组为1231231230, 0, 20.ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩用克拉默法则解讨论,a b 应取何值时，方程组(1) 仅有零解；(2) 有非零解．解：1111(1)121aD bb a b ==-当0,1b a ≠≠时0D ≠，方程组只有零解； 要使方程组有非零解，必有0,b =或1a =.当0b =时，方程组有非零解.事实上，1231,1,1x x a x ==-=-就是一组非零解.当1a =时，方程组有非零解.事实上，1231,0,1x x x ===-就是一组非零解.第二章 矩阵及其运算习题答案矩阵的运算部分习题答案1. 已知03203010,42111212AB，且2X A B X （）,求X . 解：21001(2)22113X B A2.计算 （1）1,2,1T,求T，T,T及101T .解：11,2,1261T；112121,2,12421121T66126TT， 利用结合律：101T TTTTTTT10010066TT1001216242121（2）()11121122221211a a b x xy a a b y b b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解：原式()111211222212,,1x a x a y b a x a y b b x b y c y ⎛⎫⎪=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++221112221222a x a xy a y b x b y c =+++++（3）100100A λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求nA .解：0100100A E A λλλλ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭,其中0010001000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于矩阵的乘法没有交换律，一般来讲二项式定理不成立，但是由于()()000E A A E A λλλ==，所以()()()()121220000E+A nnn n nn nn n n A E C E A C E A C A λλλλ--==++++而23000001000,,,(3)000k A A O A O k ⎛⎫⎪===≥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1n =时，nA =100100λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2n ≥时，()()()()12122000E+A nnn n n n n A E C E A C E A λλλλ--==++12200(1)2n n n n n E n A A λλλ---=++ 121(1)200n n n nn nn n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭（4）cos sin sin cos nθθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭解：22222cos sin cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθ⎛⎫---⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭cos 2sin 2sin 2cos 2θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭假设cos sin cos sin sin cos sin cos kk k k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos k k k k k θθθθθθθθθθθθ+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)cos sin sin cos cos cos sin sin sin(1)cos(1)k k k k k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---+-+⎛⎫⎛⎫==⎪⎪+-++⎝⎭⎝⎭由数学归纳法知cos sin cos sin sin cos sin cos nn n n n θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. 311212123A, 11121011B ,求,AB BA 及AB BA .解：622400610;410812434AB BA ，222200442ABBA4.123A，200011001B,3()25f x x x ，求()f A 及()f B解：34()25926f A A A E ；3900()25041004f B B BE5.已知三个线性替换为：112321233233y x x x y x x x y x x ，112212331232z y y z y y y z y y y ，112321232w z z z w z z z求从123,,x x x 到12,w w 的线性替换.解：112233111111013y x y x y x ；112233110211111z y z y z y ；11223111121z wz wz 11122233110111111115211111121437111013x x w x x w x x 所以112321235437w x x x w x x x6.如果AB BA ,则称矩阵B 与A 可交换,求与A 可交换的矩阵具有的形式. 1200000...n a a A a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中当j i ≠时j i a a ≠(,1,2,,)i j n =.解：设111212122212n n n n nnb b b b b b Bb bb ，则111211*********2222112222212122200000...n n n n n n nnn n n n n nn n b b b a b a b a b b b b b b b ABb b b b a a a a b a a a b aa1112111112121222121222121222121200000...n n n n n n n nnn n nnn n n a b b b a b b a b b b b a a a a a a b b b BAb b b b b b a aa利用同型矩阵相等当且仅当对应位置元素相等有i ij j ij a b a b ，由于j i ≠时j i a a ≠所以j i ≠时0ijb ，故112200000nnb b Bb即与主对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵. 7.如果()12A B E =+,证明:2A A =当且仅当2B E =.证明：()12A B E =+，()22124A B B E =++ 所以2A A =当且仅当()()211224B E B B E +=++当且仅当()()222B E B B E +=++，当且仅当2B E =.8.设,A B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 仍是对称矩阵当且仅当AB BA .证明：由已知,TTAA B B ，所以TT TABB A BA而AB 是对称矩阵当且仅当TAB AB ，所以AB 是对称矩阵当且仅当ABBA .9.设n 维列向量满足12T，2,TTB EC E,证明：1）B 是对称矩阵；2）BC E =. 证明：1）2222TTTTT TT T TTBE EE E所以B 是对称矩阵. 2）222TTT TT TBCEEE1222TTTTTEEE10. 已知A 是3阶方阵,且2A =-,计算(1)2A ；(2) A A ；(3)2A OE A-.解：(1)32216A A ==-；(2) ()32216A A A A =-=-=（3）332(1)2322A O A A A A EA-=-=-⋅=-可逆矩阵部分习题答案1.求下列矩阵的逆矩阵： （1）1213A -⎛⎫=⎪-⎝⎭；解：1*32111AA A -⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭；解：()()()()1*cos sin cos sin 1sin cos sin cos AA A θθθθθθθθ----⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭(3)123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； 解：11213A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(4)1212(0)n n λλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭.解：11122111n n λλλλλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2.设111123100,234111143A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,求矩阵X 使得AX B =.解：11111123100234111143X A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭02012323411012340102121143101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.设,A B 满足2ABA BA E =-,其中121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,求B . 解：2ABA BA E =-两端右乘1A -得12AB B A -=-，所以()12A E B A --=-即有()11111124211B A E A -----⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--=--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭111111428111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=---=-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设A 是n 阶方阵,且满足25A A E O -+=, 利用定义证明:3A E -可逆，并求()13A E --.证明：由于25A A E O -+=，所以25A A E -=-， 故()()2325665A E A E A A E E E E --=-+=-+=所以()()1325A E A E E ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦，所以3A E -可逆，且()()11325A E A E --=- 5. 设A 是n 阶方阵,且kA O =（k 为正整数），利用定义证明：E A -可逆，且()121k E A E A A A ---=++++证明：由于()()21k k E A E A A A E A E --++++=-=,所以E A -可逆，且()121k E A E A A A ---=++++6. 设A 是3阶方阵，且2A =-,求(1) 1A -；（2）*A ；（3）1*2AA -+.解：（1）1112A A -==-； （2）由于*112A A A A --==-，所以()3*112242A A -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭（3）由于*12A A -=-，所以()()31*111127222332AA A A A A -----+=+-=-=-=分块矩阵及其运算部分习题解答1.将1000010000101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,1000120010411120B ⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭进行适当分块，并计算,,T A B AB A .解：令11121121221222212200,,,,11A A A A E A O A A E A A ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112111221222122101041,,,,121120B B B B B O B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111211121111121221222122212122222000130010510021A AB B A B A BA B A A B B A B AB1112111221111212221222122122211121221000120010411120A AB B E O B O B O A A B B A E B B B A B B BA 其中2111001000111202A B ,211121001010021111A B B(分块方法不唯一)2. 1A A O ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()12,B B B =,都是n 阶方阵，其中1A 为()m n m n ⨯<矩阵，O 为()n m n-⨯零矩阵，1B 为()n m m n ⨯<矩阵，2B 为()n n m ⨯-矩阵，求TA ,AB 及BA .解：()1TTA A O =；()1111212,A A BA B AB B B O OO ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()11211,A BA B B B A O ⎛⎫== ⎪⎝⎭3.设n 阶矩阵A 和s 阶矩阵B 都可逆，求（1）1A O O B -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； （2） 1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭.解：（1）因为1111nS E OA O AO AA O O E O B OB O BB ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为1111nS E OO A OB AA O O E B O A O O BB ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以111O A OB B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵（1）1000210000230012A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求1A -； （2）0025001311001100A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求1A -. 解：(1)11221023,,2112A O A A A O A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由于1210,10A A =≠=≠，所以12,A A 都可逆，且1*1*112212102311,2112A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以11112100210000230012A O A OA ---⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. （2）11222511,,1311O A A A A A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由于1210,20A A =≠=-≠， 所以12,A A 都可逆，且1*1*1122123511111,12112A A A A A A -----⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以1121111002211002235001200OA A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.第二章自测题与答案一判断题（每题3分，共15分） 1.A 是n 阶方阵，如果2A A ,且AE , 则AO ； （ 错 ）2. A 是n 阶方阵,则22()()AB AB A B ； （ 错 ）3.,A B 是n 阶方阵,且A 可逆，6AX X B =-，则16()XB A E ； （ 错 ）4. ,A B 都是n 阶方阵，则A B A B +=+； （ 错 ）5.,,A B C 都是n 阶方阵，满足AB AC =,且A 可逆，则B C =. （ 对 ） 二.填空题（每题4分，共20分）1.α=（1，1，2）,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121β,则=αβ 1，βα= 112224112,2009=2008112112(1)224224112112； 2.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=531632A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=531423B ，且）（）（X B A X +-=-23, 则X =12131.3.120A ，2()21f x x x ，则()f A2111；4.设1100210000210053A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,则1A -= 1100210000310052-⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭； 5.A 是3阶方阵,B 是2阶方阵,且2A =-,1B =，则23A O OB=-32232(3)72(2)144A B A B -=-=⨯-=- ；*2A =23*32232A A ==三.矩阵计算（10分）：设101011111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，110012023B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求（1）AB ，（2）BA ；（3）T TA B .解：（1）101110113011012035111023121AB -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭；110101110012011231023111351AB --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.(10分)已知A ，B 都是3阶方阵,且9A =-，3AB E O +=,求B 及12A O O B -⎛⎫ ⎪⎝⎭.解：3AB E O +=，所以3,3AB E AB E =-=-，即()33A B E =- 所以：927,3B B -=-=.()131111298321622A O O B A B A O O B -⎛⎫====- ⎪-⨯⨯⋅⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭五.如果AB BA ,则称矩阵B 与A 可交换,求与矩阵A 可交换的矩阵具有的形式.（10分） 1000020000100011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭；解：1000000002000100,0010000000110010A E ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==+ΛΛ= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 则AB BA 的充分必要条件是B B ，设11121314212223243132333441424344b b b b b b b b Bb b b b b b bb 111213142122232421222324313233344142434431323334000000000001000000010000b b b b b b b b b b b b Bb b b b b b b b b b bb111213141214212223242224313233343234414243444244000001000000001000000000b b b b b b b b b b b b Bb b b b b b b b b b bb由BB 有121432342131240b b b b b b b2324423233440,0,b b b b b b所以11132233414333000000000b b b Bb b bb ，即1121232000000000b a b Bc a cc （其中1212123,,,,,,a a b b c c c 为任意数.（书上答案有错））六. 求矩阵A 的伴随矩阵*A 和逆矩阵1A-（10分）.011101110A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭112131*122232132333111111111A A A A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,2A =,所以111111112111A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭七.（8分）设16,A XA A XA -=+ 其中100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求X . 解：16,A XA A XA -=+两边右乘1A -有16,A X E X -=+所以()16A E X E --=100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭,11300200040,030007006A A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()1110023001660002030011006X A E--⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭八.（7分）设A 是n 阶方阵,且满足2A A E O -+=, 利用定义证明:2A E +可逆，并求()12A E -+.解：由于2A A E O -+=，所以2A A E -=-()()22367A E A E A A E E +-=--=-所以()()1237A E A E E ⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦，所以2A E +可逆，并且()()11237A E A E -+=--. 九.（10分）设实矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,满足T A A O =,证明A O =. *试将结论推广到A 是n 阶方阵的情况.证明：111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则112131111213122232212223132333313233Ta a a a a a A A a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222112131222122232222132333******a a a a a a a a a ⎛⎫++ ⎪=++ ⎪ ⎪⎪++⎝⎭由于TA A O =，所以TA A 的所有元素都为0，即有2222222221121311222321323330a a a a a a a a a ++=++=++=又A 是实矩阵，所以1121311222321323330a a a a a a a a a =========，即A O =. 推广结论：如果n 阶实方阵满足TA A O =,则A O =.第三章矩阵的初等变换与线性方程组初等变换与初等矩阵部分习题答案1.先用初等行变换化下列矩阵为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形（1）1131132522672456A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭；解：422121331323411211224257100 113111311130202140214021010102 0005000100010001 021*********0000r rr r rr rr r rr rr r r rA--⨯--⨯---⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭行最简形为710021 0102 0001 0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭又3127132710010001000 2101000100 010200010010 000100000000 0000c c c-+⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭所以等价标准形为1000 0100 0010 0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）130211213144A⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭；221313212143233510241302130211042104210124084200000000r r r r r r r r r A ⨯+-+-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭行最简形为3510241101240000⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 312412312251443510241000110101002400000000c c c c c c +---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，所以等价标准形为100001000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (3)111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭； 解：2131111111100111020010111022001rr r r A +---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 行最简形和等价标准形都是100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（4）21112112144622436979A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪--⎪-⎝⎭. 解：1211214211124622436979r r A ↔-⎛⎫ ⎪--⎪→ ⎪--⎪-⎝⎭21314124311214033160101061203343r r r r r r ----⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪--⎝⎭4311214033160101061200039r r +-⎛⎫ ⎪---⎪→ ⎪--- ⎪-⎝⎭4243413611214033090101003000013r r r r r ⨯++-⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪-- ⎪-⎝⎭232341()3101121401103000130000r r r r r ⨯-+↔-⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭123101040110300013000r r r ---⎛⎫ ⎪- ⎪→⎪- ⎪⎝⎭行最简形为：10104011030001300000-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪⎝⎭31251243443310104100000110301000000130010000000000c c c c c c c c c ++--+↔-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪→⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价标准形为：10000010000010000000⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭2.110011,101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2112P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3120010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求: (1)200913P AP ； (2) 200921P AP . 解：由于21P E =,所以()10042009200821311311313P AP P P AP P P AP P AP ===1P 左乘A 相当于交换A 的1,2两行，3P 右乘1P A 相当于1P A 的第一列乘2加到第二列，所以200913133011011110130101121P AP P AP P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1P 右乘A 相当于交换A 的1,2两列，2P 左乘1AP 相当于1AP 的第三列各元素乘以2，所以()10042009221211212110110101101011022P AP P AP P P AP P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.（1）110011013A；解：3131232231231100122110100101110310110100110101002201300100201111001022r r r r r r r rr 所以1311223102211022A（2）1014011101110013A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪⎪⎝⎭解：321(1)10141000101410000111010001110100011100100020011000130001013001r r r -⨯-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4132314432411234114111000110041066322121110100001010033322111100100000100022221111100031000122663r r r r r rr r r r r ⨯⨯+++--⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ -⎪-⎝⎭⎝⎭3r所以1114166312103331100221110663A -⎛⎫--⎪⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭4. 设010111112010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，，且AX B X +=，求X解：()A E X B -=-,因为110111013012102A E ---=-=-=-≠----所以A E -可逆，所以()1X A E B -=--()21311101111011,10120011111025301242r r r r A E B ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭12131233223(1)(1)1()3101201012010031011110111101020003330011100111r r r r r r r r r r r ⨯-⨯-++⨯--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→---→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1312011X A E B --⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭矩阵的秩部分知识习题解答1. 求下列矩阵的秩.（1）11311024********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭；解：21314123113111311131102401130113215501130000328601130000r r r r r r A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2r A =.（2）101431301212A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.解：213132321014101410143130016120161212120206001230r r r r r r A --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()3r A =2. 已知111111A λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，讨论λ为何值时（1）()1R A =;(2) ()2R A =;(3)()3R A =.解：()()211112111A λλλλλ==+-（1）当1λ=时，111111111000111000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1R A =（2）当2λ=-时，1312122113211330110121121011112000000r rr r r r r r A ⨯++-+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2R A =（3）当1λ≠且2λ≠-，时，()()2210A λλ=+-≠，所以()3R A =.3. 21212112112a A a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，讨论a 取何值时，可使(1)()2R A =; (2)()3R A =. 解：21313222212112103322033220330002r r r r r r a a A a a a a a a +-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭所以：当220a a +-=，即1a =或2a =-时，()2R A = 当220a a +-≠，即1a ≠且2a ≠-时，()3R A =.4.设i A 是(1,2)i i m n i ⨯=矩阵，证明：1122()()A R R A R A A ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 证明：设1122(),()R A r R A r ==，则对1A 进行初等变换可化为等价标准形1r E O OO ⎛⎫⎪⎝⎭对2A 进行初等变换可化为等价标准形2r E O OO ⎛⎫⎪⎝⎭， 对12A A ⎛⎫⎪⎝⎭的前1m 行和前1n 列进行与1A 化为1r E O OO ⎛⎫ ⎪⎝⎭时相同的初等变换，则12A A ⎛⎫⎪⎝⎭化为12r E OA ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,再对12r E OA ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的后2m 行和后2n 列进行与2A 化为2r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭时相同的初等变换，则12r E OA ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭化为12r r E OE O ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以121122r r E A OR R r r A E O ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==+⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭上面过程用矩阵乘积形式写出即为：设1122(),()R A r R A r ==，则存在12,m m 阶可逆矩阵12,P P 及12,n n 阶可逆矩阵12,Q Q ，使得12111222,=r r E O E O P A Q P A Q OO O O ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令11221122,m n m n E O E O Q O P O Q P O E OE OQ OP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则112211112222m n m n E O E O P O Q O A A P Q O E O E A A O P O Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111222r r E P A Q OP A Q E O ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭由于12,P P ，12,Q Q 可逆，所以11221122,,,m m m m E O E O P O Q O OE OE OP OQ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭都可逆， 所以12111222r r E A A OR R P Q R r r A A E O ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪===+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭即1122()()A R R A R A A ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 5.设A 是m n ⨯矩阵，证明： ()1R A =当且仅当存在m 维非零列向量α和n 维非零行向量T β,使得T A αβ=.（提示：使用A 的等价标准形）证明：如果()1R A =，则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使得()111101000n m O A P Q P Q O O ⨯⨯⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭令()1110,1000T n m P Q αβ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭则α是m 维非零列向量，Tβ为n 维非零行向量，且TA αβ=. 如果存在m 维非零列向量α和n 维非零行向量Tβ,使得TA αβ=，设1m a a α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，()1,,Tn b b β=，则111212122212n n m m m n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于α为m 维非零列向量，Tβ为n 维非零行向量，所以存在某个0i j a b ≠，所以()1R A ≥。