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勾股定理及逆定理的应用练习(含答案)

勾股定理的逆定理1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( )A.22B.23C. 6D.236知识点:转化的数学思想、勾股定理知识点的描述:在解决有关求线段长度问题时,常通过添加辅助线,把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题,利用勾股定理解决问题。

勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案:C详细解答:作BC 边上的高AD,△ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°,那么∠B=60°,从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中,∠BAD=30°,AB=2,所以BD=1,AD=3 在Rt △ACD 中,∠C=45°,AD=3,所以CD=AD=3, 利用勾股定理可得AC=6。

1.已知:在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D ,∠A=60°,CD=3,线段AB 长为( )。

A.2B.3C.4D.33 答案:C分析:欲求AB ,可由AB=BD+AD ,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出BD 和AD 。

或欲求AB ,可由22BC AC AB +=,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出AC 和BC 。

详细解答:在Rt △ACD 中,∠A=60°,那么∠ACD=30°,又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

CD在Rt △ACB 中,∠A=60°,那么∠B=30°。

在Rt △BCD 中,∠B=30°,又已知CD=3,所以BC=23,利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。

因此AB=BD+CD=3+1=4,小结:本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”是中考重要的考点,所以要求对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有:3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2,两对相等锐角,四对互余角,及30°或45°特殊角的特殊性质等。

2.已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,则它的形状为A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形知识点:综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状知识点的描述:这类问题常常用到代数中的配方、因式分解,再结合几何中的有关定理不难作出判断。

答案:D详细解答:∵ a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,∴左右两边因式分解得))(()(2222222b a b a b a c -+=-∴0))((22222=---b a c b a ∴022=-b a 或0222=--b a c ,即b a =或222b a c +=,所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。

2.若△ABC 的三边a ,b ,c 满足(c-b)2+︱a 2-b 2-c 2︱=0,则△ABC 是( ) (A )等腰三角形(B )直角三角形(C )等腰直角三角形 (D )等腰三角形或直角三角形 答案:C详细解答:∵(c-b)2+︱a 2-b 2-c 2︱=0,∴c-b =0且a 2-b 2-c 2=0 即b c =且222b a c +=,所以三角形的形状为等腰直角三角形。

3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )知识点:勾股定理的逆定理知识点的描述:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,最大的边就是斜边。

满足a 2+b 2=c 2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.最好能记住常见的几组勾股数:3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17等。

答案:C详细解答:A 图和B 图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方,不是直角三角形。

D 图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方,都不是直角三角形。

只有C 图中的两个三角形都是直角三角形。

3.在下列说法中是错误的( )A .在△ABC 中,22222AC m n mn m n =-+、BC=、AB=(m n 、为正整数,且m n >),则△ABC 为直角三角形.B .在△ABC 中,若∠A :∠B :∠C =3:4:5,则△ABC 为直角三角形. C .在△ABC 中,若222c b a =-,则△ABC 为直角三角形. D .在△ABC 中,若a :b :c =5:12:13,则△ABC 为直角三角形. 答案:B详细解答: 在△ABC 中,若∠A :∠B :∠C =3:4:5,那么最大角∠C =0075180125=⨯ 不是直角三角形。

△ABC 三条边的比为a:b:c =5:12:13,则可设a =5k ,b =12k ,c =13k ,a 2+b 2=25k 2+144k 2=169k 2,c 2=(13k)2=169k 2,所以,a 2+b 2=c 2,△ABC 是直角三角形.4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,同旁内角互补;B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C.对顶角相等D.如果a2=b2,那么a=b知识点:互逆命题知识点的描述:如果一个命题的题设是另一个命题的结论,而结论又是另一个命题的题设,那么这样的两个命题是互逆命题。

一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。

答案:C详细解答:“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然这是一个假命题。

4.下列命题的逆命题成立的是()a=(B)全等三角形的周长相等(A)若a=b,则b(C)同角(或等角)的余角相等(D)若a=0,则ab=0答案:Ca=,则a=b。

不一定成立,也可能a=-b详细解答:(A)的逆命题是:若b(B)的逆命题是:周长相等的三角形全等。

不一定成立,两个三角形周长相等,形状不一定就相同。

(D)的逆命题是:若ab=0,则a=0。

不一定成立,也可能是b=0,而a≠0。

5.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距()A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里知识点:勾股定理的实际应用题知识点的描述:求距离或某个长度是很常见的实际应用题,这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题,通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中,利用勾股定理求出线段的长度,从而解决实际问题。

答案:D详细解答:画出答题图,由题意知,三角形ABC是直角三角形,AC=32海里,AB=24海里,根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600,ABC所以BC=40(海里)5.有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)要求木条不能露出木箱.请你算一算,能放入的细木条的最大长度是( )A .cm 41B .cm 34C .cm 50D .cm 35 答案:C详细解答:画出如图所示的木箱图,图中AD 的长度就是能放入的细木条的最大长度,由题意知CB=5cm 、CA=4cm 、BD=3cm 在Rt △ACB 中,AC 和BC 是直角边,AB 是斜边,AB 2=AC 2+CB 2=41, 在Rt △ADB 中,AB 和BD 是直角边,AD 是斜边,AD 2=AB 2+BD 2=41+9=50,所以AD=()cm 506.如图,正方形网格中的△ABC ,若小方格边长为1,则△ABC 是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形C .钝角三角形D .以上答案都不对 知识点:网格问题,勾股定理和逆定理知识点的描述:网格问题是常见的问题,解决这种问题要充分的利用正方形网格。

勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 答案:A详细解答:把△ABC 的各边分别放在不同的直角三角形中,给出必须的点的名称,画出图形。

在Rt △BCD 中, CD=1,DB=8,那么CB 2=CD 2+BD 2=65, 在Rt △ACE 中, AE=2,CE=3,那么AC 2=AE 2+CE 2=13, 在Rt △ABF 中, AF=6,BF=4,那么AB 2=AF 2+BF 2=52, 所以,在△ABC 中, AC 2+AB 2=13+52=65,又CB 2=65,所以,AC 2+AB 2= CB 2,根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC 是直角三角形ACBDDCA6.如图,图中的小方格都是边长为1的正方形网格,则图中四边形的面积是 ( ) A.25 B.12.5 C. 9 D.8.5 答案:B 详细解答:S 四边形EFGH=S ABCD -S △DEF -S △CFG -S △BGH -S △AEH=5×5-21×1×2-21×3×3-21×2×3-21×2×4=12.5 7.如图,已知四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求得四边形ABCD 的面积.( )A. 36B. 25C. 24D. 30知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

答案:A分析:根据题目所给数据特征,联想勾股数,连接AC ,可实现四边形向三角形转化,并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形. 详细解答:连接AC ,在Rt △ABC 中,AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25, ∴ AC=5. 在△ACD 中,∵ AC 2+CD 2=25+122=169,又∵ AD 2=132=169,∴ AC 2+CD 2=AD 2,∴ ∠ACD=90°. 故S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21AB ·BC +21AC ·CD =21×3×4+21×5×12=6+30=36. 7.在四边形ABCD 中,AB =2,BC =5,CD =5,DA =4,∠B =90°,那么四边形ABCD 的面积是( )。

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