与3有关,对算式分析如下:
算式 ① ② ③ ④ …
原式 1×3+1=22 7×9+1=82 25×27+1=262 79×81+1=802
…
变形 (31-2)×31+1=(31-1)2 (32-2)×32+1=(32-1)2 (33-2)×33+1=(33-1)2 (34-2)×34+1=(34-1)2
【思路点拨】首先求出P1～P5的坐标,探究规律后,利 用规律解决问题.
【自主解答】第一次P1(5,2),第二次P2(8,1),第三次 P3(10,1),第四次P4(13,2),第五次P5(17,2), … 发现点P的位置4次一个循环, ∵2017÷4=504余1,
P2017的纵坐标与P1相同为2,横坐标为5+(17-5)× 504=6053, ∴P2017(6053,2). 答案:(6053,2)
…
根据上述分析,猜想第2016个式子为(32016-2)× 32016+1=(32016-1)2. 答案:(32016-2)×32016+1=(32016-1)2
【知识归纳】数式规律探究是规律探究问题中的主要 部分,解决此类问题注意以下三点: 1.一般地,常用字母n为正整数,从1开始. 2.在数据中,分清奇偶,记住常用表达式. 正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2…
【自主解答】选B.∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32, 26=64,…, ∴2017÷4=504……1, ∵(2+4+8+6)×504+2=10082, ∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2.
【特别提醒】 探究等式变化规律的题目,关键把握两点:一是找出等 式中“变”与“不变”的部分;二是分析出“变”的 规律.
后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学 方法,考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一 般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较 同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等 式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成 要求的格式.
【示范题1】(2017·岳阳中考)观察下列等式:
2
小圆;∵第n个图形中“○”的个数是78,∴78= n ( n, 1 )
2
解得n1=12,n2=-13(不合题意,舍去).
【方法归纳】当图形在变换时,图形的个数与对应的 另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时,可以 通过建立这两个变量之间的函数关系,利用已知的几 对对应值求出函数关系式,然后去论证.
【知识归纳】这种探索图形构成元素的规律的试题, 解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规 律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形 的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解 决问题.
考点三 点的坐标的变化规律 【示范题3】(2017·南宁中考)如图,把正方形铁片 OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点 P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的 顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图① 位置,第二次旋转至图②位置…,则正方形铁片连续旋 转2017次后,点P的坐标为________.
A.11 B.12 C.13 D.14
【思路点拨】根据小圆个数变化规律表示出第n个图 形中小圆的个数,列方程求解.
【自主解答】选B.第1个图形有1个小圆;第2个图形有
1+2=3个小圆;第3个图形有1+2+3=6个小圆;第4个图形
1+2+3+4=10个小圆;第n个图形有1+2+3+…n ( n+n1 )= 个
【变式训练】 (2016·滨州中考)观察下列式子: 1×3+1=22; 7×9+1=82; 25×27+1=262; 79×81+1=802; … 可猜想第2016个式子为________.
【解题指南】观察等式两边的数的特点,用n表示其规 律,代入n=2016即可求解.
【解析】观察算式,易看出式子中的数3,9,27,81,都
专题一 规律探究
规律探究类试题选材一般来源于学生熟悉的生活, 有一定的趣味性,呈现形式多样,便于学生观察,侧重考 查学生观察和归纳能力,让学生从不同角度,利用不同 方法探索并发现数学规律,同时利用发现的规律,让学 生学会自我验证,真正考查了学生的数学思考能力.
考点一 数式的变化规律 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然
3.熟记常用的规律
(1)1,4,9,16,…,n2.
(2)1,3,6,10,…,n n 1 .
2
(3)1,3,7,15,…,2n-1.
(4)1+2+3+4+…+n= n n 1 .
2
(5)1+3+5+…+(2n-1)= n2.
(6)2+4+6+…+2n=n(n+1).
(7)12+22+32+…+n2= 1 n(n+1)(2n+1).
6
(8)13+23+33+…+n3= 1 n2(n+1)2.
4
考点二 图形的变化规律 结构类似,多少和位置不同的几何图案的图形个
数之间也有一定的规律可寻,并且还可以由一个通用 的代数式表示.
【示范题2】(2017·临ห้องสมุดไป่ตู้中考)将一些相同的“○” 按如图所示摆放,观察每个图形中的“○”的个数,若 第n个图形中“○”的个数是78,则n的值是 ( )
【变式训练】 (2017·随州中考)在公园内,牡丹按正方形种植,在它 的周围种植芍药,如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的 数量规律,那么当n=11时,芍药的数量为 ( )
A.84株 B.88株 C.92株 D.121株
【解析】选B.观察图形,发现芍药围成的图形是正方 形,每条边上的芍药数量与牡丹的列数(n)的关系是 2n+1,芍药的总数量可表示为4(2n+1)-4=8n,因此,当 n=11时,芍药的数量为88.
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,…,根据这个规律,
则21+22+23+24+…+22017的末位数字是 ( )
A.0
B.2
C.4
D.6
【思路点拨】根据题目中的式子可以知道,末位数字 按2,4,8,6的顺序出现,从而可以求得21+22+23+24+…+ 22017的末位数字.