高中数学总复习立体几何的基本概念【知识要点】【基本概念】一.空间几何体的结构特征【棱柱、棱锥、棱台和多面体】 :1.棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体:①有两个面互相平行;②其余各面都是四边形;③每相邻两个四边形的公共边都互相平行;棱柱按底面边数可分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱等.棱柱性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等.. 多边形 .③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 .2.棱锥是由一个底面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体.棱锥具有以下性质:①底面是多边形;②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形;③平行于底面的截面和底面是相似多边形,相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比.截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方.3.棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分.由棱台定义可知,所有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台还原成棱锥.4.多面体是由若干个多边形围成的几何体.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四面体. 【圆柱、圆锥、圆台、球】 :分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有:①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面(轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形;③圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆柱;圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥. 附表:1. 几种常凸多面体间的关系几种特殊四棱柱的特殊性质二.空间几何体的侧面积、表面积1.棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积,棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和.因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形,所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形.如果设直棱柱底面周长为 c ,高为 h ,则侧面积 S ch =侧 .若长方体的长、宽、高分别是 a 、 b 、 c ,则其表面积 2( S ab bc ca =++表 .2.圆柱的侧面展开图是一个矩形.矩形的宽是圆柱母线的长,矩形的长为圆柱底面周长.如果设圆柱母线的长为 l ,底面半径为 r ,那么圆柱的侧面积2πS rl =侧 ,此时圆柱底面面积 2πS r =底 . 所以圆柱的三.空间几何体的体积1.柱体(棱柱、圆柱的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V Sh =柱体 .其中底面半径是 r ,高是 h 的圆柱的体积是 2πV r h =圆柱 .2.如果一个锥体(棱锥、圆锥的底面积是 S ,高是 h ,那么它的体积是 13V Sh =锥体 .其中底面半径是 r ,高是 h 的圆锥的体积是 21π3V r h =圆锥 ,就是说,锥体的体积是与其同底等高柱体体积的 13.3. 如果台体 (棱台、圆台的上、下底面积分别是 S S ', , 高是 h , 那么它的体积是1( 3V S S h =台体 . 其中上、下底半径分别是 r R , , 高是 h 的圆台的体积是221π( 3V r Rr R h =++圆台 .4.球的体积公式:334R V π=.表中 S 表示面积, c′ 、 c 分别表示上、下底面周长, h 表斜高, h′ 表示斜高, l 表示侧棱长。
表中 l 、 h 分别表示母线、高, r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径, r 1、r 2分别表示圆台上、下底面半径, R 表示半径四.中心投影和平行投影(1中心投影:投射线均通过投影中心的投影。
(2平行投影:投射线相互平行的投影。
例:如图,在正四面体 A -BCD 中, E 、 F 、 G 分别是三角形 ADC 、 ABD 、BCD 的中心,则△ EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是( CA .①③B .②③④C .③④D .②④(3三视图:三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。
它具体包括:①正视图:物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度; ②侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度; ③俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度;(3 已知图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x '轴、 y '轴和 z '轴的线段. (4已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长度相等;平行于 y 轴的线段,长度取一半. 例:C B A '''∆是正△ ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图, 若C B A '''∆的面积为 , 那么△ ABC的面积为 _______________。
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【位置关系的判定】六.平面(1 对平面的理解:平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念. 立体几何中的平面是理想的、绝对平且无限延展的模型,平面是无大小、厚薄之分的.类似于我们以前学的直线,它可以无限延伸,它是不可度量的. (2三个公理与三个推论①公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
这是判断直线在平面内的常用方法。
②公理 2:如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上。
这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线上的方法之一。
③公理 3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
推论 1:经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理 3和三个推论是确定平面的依据。
其作用是:其一它是判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共点,就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线;其二它可以判定点在直线上,点是两个平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上.①②③④BCD七 . 空间直线 .【 1】空间直线位置分三种:相交、平行、异面 .相交直线—共面有且有一个公共点; 平行直线—共面没有公共点; 异面直线—不同在任一平面内。
【 2】异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线 . (不在任何一个平面内的两条直线【 3】两直线平行的判定:①公理 4:平行于同一直线的两直线互相平行;②线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;③面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行; ④线面垂直的性质:如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
【 4】两直线垂直的判定: ①转化为证线面垂直: ②三垂线定理及逆定理:(1定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 (2逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
PA AO PO ⊥面 , 为在内射影, 面 ,则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥ ; ⊥⊥⇒⇒【 5】等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角相等 . 八 . 直线与平面平行、直线与平面垂直 .【 1】空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内 .【 2】直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. (“ 线线平行,线面平行” 字母表述:a b b a a ∥ , 面 , ∥面⊂⊄⇒ααα【 3】直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. (“ 线面平行,线线平行”字母表述:αααβαβ∥面 , 面 , ∥⊂=⇒ b a b【 4】直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .【 5】直线与平面垂直判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。
字母表述:a b a c b c b c O a ⊥ , ⊥ , , , ⊥⊂=⇒αα【 6】直线与平面垂直的性质:①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。
②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
九 . 平面平行与平面垂直 .【 1】空间两个平面的位置关系:相交、平行 .【 2】平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .(“ 线面平行,面面平行”推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行 .【 3】两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行. (“ 面面平行,线线平行”【 4】两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直 .两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. (“ 线面垂直,面面垂直”字母表述:a a ⊥面 , 面⊥ αββα⊂⇒面⊥面 , , , ⊥⊥ αβαβαβ =⊂⇒l l a a aa b a b ⊥面 , ⊥面∥ αα⇒面⊥ ,面⊥∥ αβαβa a ⇒【 5】两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面 .十.平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−abP aα ab【典型问题】【一】空间几何体的结构、三视图、直观图、体积、表面积1. (1画出下列几何体的三视图解:这二个几何体的三视图如下(2如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。
一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成虚线。
物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。
2:(2009年广东卷文某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4所示 , 墩的上半部分是正四棱锥P -EFGH, 下半部分是长方体 ABCD -EFGH. 图 5、图 6分别是该标识墩的正(主视图和俯视图 .(1请画出该安全标识墩的侧 (左视图 ; (2求该安全标识墩的体积(3证明 :直线BD ⊥平面PEG【解析】 (1侧视图同正视图 , 如下图所示 .(2该安全标识墩的体积为:P EFGH ABCD EFGHV V V--==221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+=(2cm(3如图 , 连结 EG,HF 及 BD, EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知 , PO ⊥平面 EFGH ,PO HF∴⊥, 又 EG HF⊥,HF∴⊥平面 PEG又 BD HFP BD∴⊥平面 PEG ;3. (2008广东将正三棱柱截去三个角(如图 1所示 A B C, , 分别是 GHI△三边的中点得到几何体如图 2,则该几何体按图 2所示方向的侧视图(或称左视图为(解 :在图 2的右边放扇墙 (心中有墙 , 可得答案 A4.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示,则该几何体中正方体木块的个数是 .解 :以俯视图为主,因为主视图左边有两层,表示俯视图中左边最多有两个木块,再看左视图,可得木块数如右图所示,因此这个几何体的正方体木块数的个数为 5个。