运用两点间的距离公式求最值
两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式•根据题设条件，构设点的坐标，利 用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的 解答•现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明.
一、求函数的最值
例1 求函数y
x 2 4x 13 , x 2 10x 26的最小值.
分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数 为这
两个根式各自的最小值是在不同的 较繁琐，仔细
y
化为几何问题来解决.
解：如图1，在平面直角坐标系内，设点 M
(5 2)2 ( 1 3)2
5
即y >5 (其中等号在M,
评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开.
例 2 求函数 f (x,
y) , x 2 y 2 , (x 1)2 y 2 , x 2 (y 1)2 , (x 1)2 (y 1)2 的最小值.
分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的 距离公式，则可简化解答过程.
解：如图2, f (x , y)表示在平面直角坐标 系中的动点P(x, y)到定点A(0,0)，B(1,0)， P 在线段AD 上时等号成立；A CPB 中， PB > BC ，当且仅当点P 在线段BC 上时等号成立,
7' C(0.1)
4(o,oy
图2
y 的最小值，因 x 处取得的.如果从代数的角度考虑，其解答将会比 观察式子的结构，改变式子的表示形式： ,.'(x 2)2 (0 3)2 ..(x 5)2 (0 1)2，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转
N(5, 1)，P(x,O).
则 y , (x 2)2
(0 3)2 MP | |PN > MN
P, N 三点共线时成立)，
PI I
C(0，)， D(1,1)的距离之和.
而厶APD 中，PA PD > AD ，当且仅当点
PC
」(x 5)2 (0 1)2
所以PA |PD PC PB > AD |BC 242，当且仅当点P为AD与BC的交点时，f
(x, y)取得最小值2、2，此时点P的坐标为1,1.
2 2
二、求距离的平方和的最值
2 2
例3已知点A(2,，)，B(2,2)，点P(x o, y o)满足y=2x，求PA | PB取得最小值时点P
的坐标.
分析：利用两点间距离公式将PA2 PB2表示为f(x, y)的形式，再消元得一个关于x (或y)的二次函数，最后求值.
解：由已知点P(x。

，y o)满足y o 2x o，结合两点间的距离公式，得
PA2PB 2
(x o 2)2 (y o1)2 (x o 2)2 (y o 2)
2x0；8x o82y26y o 5
2xo8x o88xo 6 2x o5
10处20x013
2
10( x o 1) 3，
当x o 1时，|PA2 |PB2取得最小值3,此时点P的坐标为(1，2).
评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数
f (x, y)，然后通过消元转化为关于x (或y)的函数f (x)(或f (y)),再求解.
一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，
利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处. 以上仅介绍了两点间的距离
公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现求函数的最值
1.已知P(-2, - 2), Q(O, 1), R(2, m),若| PR+| RQ 最小，贝U m 的值为
1 4
(A) - (B) O (C)- 1 (D)--
2 3
2 .已知A(8, 6), B(2, - 2)，在直线3x- y+2=O上有点P,可使| PA|+| PB|最小，则点P坐标为
(A) (2, 0) (B) (-4, - 10) (C) (- 10, - 4) ( D) (0, 2)
3 .已知点A(1, 3), B(5, - 2)，在x轴上取点P,使|| PA| - |PBI最大，则点P坐标
为________________ .
4 .函数y=・-x2 1 . x2 4x 8的最小值为_______________________ .。