t 0
s
例：
2020/6/3
4.2.10 终值定理
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
例：
2020/6/3
4.2.11 卷积定理
• 1．时域卷积定理 • 2．复频域卷积定理
2020/6/3
1．时域卷积定理
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则： f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
4.1 拉普拉斯变换
• 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 • 4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
2020/6/3
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4.1.1 从傅里叶变换到拉普 拉斯变换
• 由第3章已知，当函数f(t)满足狄里赫利 条件时，便存在一对傅里叶变换式：
F() f (t)ejt dt -
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2．复频域卷积定理
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则：
f1(t)f2(t) 21 jF1(s)F2(s)
2020/6/3
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4.3 单边拉氏反变换
• 4.3.1 查表法 • 4.3.2 部分分式展开法
2020/6/3
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4.3.1 查表法
例：已F知 (s)2ss22
0
s
s
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4.2.7 频域微分定理
若 f(t)F(s)
则 tf(t)d F(s) ds
2020/6/3
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4.2.8 频域积分定理
若 f(t)F(s)
则
f(t)F()d
t
s
2020/6/3
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4.2.9 初值定理
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f(0)lim f(t)lis m F (s)
9s18,求其拉氏反变换。 4s8
解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2 s2 (s2)222
查表得：
22(t)
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
收敛域
图4-1 收敛域的划分
f1(t) A
0
j
t
a
0
图4-2 右边指数衰减信号与其收敛域
f2(t)
t 0
A
j
a 0
图4-3 左边指数增长信号与其收敛域
f3(t) 1
t 0
j
b
0
b
图4-4 双边信号与其收敛域 返回本节
4.1.3 常用信号的单边拉氏 变换
• 1．单位阶跃信号 • 2．单位冲激信号 • 3．指数信号 • 4．正弦信号 • 5．t的正幂信号
2020/6/3
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4.2.1 线性
若 f 1 ( t) F 1 ( s ),f2 ( t) F 2 ( s ) 则对于a1 任 和 a2,有 意常数
a1f1(t)a2f2(t) a1F 1(s)a2F 2(s)
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4.2.2 时移（延时）特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
2020/6/3
1．单位阶跃信号
F(s)Lu(t) estd test 1
0
s 0 s
即：
u(t) 1 s
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2．单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
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3．指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
tne sd t ttne stn tn 1e sd t tn tn 1e sd t t
0
s
s0
s0
0
所以：
Ltnu(t)nLtn1u(t) s
2020/6/3
表4-1 常用信号的拉氏变换
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4.2 单边拉氏变换的性质
• 4.2.1 线性 • 4.2.2 时移（延时）特性 • 4.2.3 尺度变换 • 4.2.4 频移特性 • 4.2.5 时域微分定理 • 4.2.6 时域积分定理 • 4.2.7 频域微分定理 • 4.2.8 频域积分定理 • 4.2.9 初值定理 • 4.2.10 终值定理 • 4.2.11 卷积定理
f (t) 1 F()e jt d
2
2020/6/3
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4.1.2 拉普拉斯变换的收敛 域
• 连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以
下简称拉氏变换）式f(s)是否存在，取
决于f(t)乘e 以t 衰减因子
以后是否
绝对可积f，(即t)：eat dt
2020/6/3
j
收 敛 轴
0 0收
敛 坐 标
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
2020/6/3
4．正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
0 si ntes
td t
ejt ejt 0 2j
es
tdt
21js1js1js2 2
即： sintu(t) s2 2
2020/6/3
5．t的正幂信号
F(s)Ltnu(t)tnesd t t 0 利用分部积分法，得：
2020/6/3
f(t) A
t
0
T
f(1)(t)
A
T
T
t
0
A(tT)
f(2)(t)
A(t)
T 0
T
t
A(tT)
T
A(1)(tT)
（a）三角脉冲
（b）三角脉冲的一阶导数 （c）三角脉冲的二阶导数 图4-7 三角脉冲及其导数
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4.2.6 时域积分定理
若 f(t)F(s)
则t f ()d F(s源自 f (1)(0)第4章 连续时间信号与系统的 复频域分析
• 4.1 拉普拉斯变换 • 4.2 单边拉氏变换的性质 • 4.3 单边拉氏反变换 • 4.4 连续系统的复频域分析 • 4.5 系统函数H(s) • 4.6 系统函数的零、极点分布与时域
响应特性的关系 • 4.7 系统的稳定性 • 2020/6/3 4.8 系统函数与系统频率特性
f(a)t 1 aF(a s) a0
2020/6/3
4.2.4 频移特性
若 f(t)F(s)
则
f(t)eatF(sa)
2020/6/3
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4.2.5 时域微分定理
若 f(t)F(s) 则
d f (t) sF(s) f (0) dt f (n)(t) snF(s)sn1 f (0)
sn2 f '(0) f n1(0)
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
2020/6/3
sint
t 0
（a）
sintu(t t0)
sin(tt0)
sin(tt0)u(t)
t
t
0t0
0 t0
（b）
（c）
sin(t t0)u(t t0)
t
t
0 t0
0 t0
（d）
（e）
图4-5 几种时移情况
4.2.3 尺度变换
若 f(t)F(s)
则