爱心，用心，专心
2019年九年级教学质量监测 数学参考答案与评分标准
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案
C
D
B
A
B
B
B
A
C
C
二、填空题
11.)1)(1(2-+a a ；12.7-<x ；13. ；14. ；15. ；16.16 三、解答题（一）
17.解：原式= ………………4分 = ………………6分
18.解：原式
1
1)1)(1(2
212)1)(1(2322
+=
-++⋅
+-=+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a a a a a a a ……………………3分 ………………4分 当13-=
a 时，原式3
3
1131=
+-=
………………6分 19.解：（1）如图所示，CD 即为所求。
………………4分 （2）证明：∵∠A=30°，∠B ＝50°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∵CD 平分∠ACB
∴∠DCB=
2
1
∠ACB=50° …………5分 ∴∠DCB=∠B
∴DC=DB ……………………6分
四、解答题（二）
20.解：（1）设甲.乙两种奖品的单价分别为x 元，y 元，依题意得，……1分
1650=y 35+x 151950=y 25+x 30 …………3分
解得，
30
=y 40=x
答：甲、乙两种奖品的单价分别为40元，30元。
…………4分 （2）设购买甲奖品2a 件，乙奖品3a 件，依题意得，
a a 330240⨯+⨯≤1000 ………………5分 解得，a ≤
17
100
∵a 为正整数
∴a ≤5 ………………6分 ∴最多可以购买10件甲种奖品.
答：最多可以购买10件甲种奖品. ………………7分 21.（1）证明：连接FH ， 在矩形EFGH 中，EF=HG ，EF ∥HG
∴∠EFH=∠GHF ………………1分
在平行四边形ABCD 中，∠A=∠C ，AB ∥DC …………2分
∴∠AFH=∠CHF
∴∠AFH-∠EFH=∠CHF-∠GHF
∴∠AFE=∠CHG ………………3分 ∴△AFE ≌△CHG ………………4分
(2)AF=BF ，理由如下： ………………5分 ∵在平行四边形ABCD 中，∠A=90° ∴四边形ABCD 为矩形
A
B
C
D E
F
G
H
第21题图
A
B
C
D
3
4π25
441
-2
1
132+
-+2
9
爱心，用心，专心
∴∠C=90°，GH=EF ，DC=AB 又∵H 为DC 的中点，AB=EF ∴GH EF AB DC CH 2
1
212121====
∴∠HGC=30° ……………………6分 又由（1）可知△AFE ≌△CHG ∴∠AEF=∠HGC=30°
∴AB EF AF 21
21==
∴AF=BF …………7分 22.（1）20；（2）54；
………………3分，每空1分， 正确画图1分
（3）由（1）可知：只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，设1A ，2A 来自一个班，
1B ，2B 来自一个班，画树状图为：
开始
2A 1B 2B 1A 1B 2B 1A 2A 2B 1A 2A 1B …………5分 共有12种等可能的结果，其中来自一个班的有4种情况， …………6分 ∴P （所选2名留守儿童来自同一个班级）=3
1
124= ………………7分 五、解答题（三）
23.（1）解：∵反比例函数x
m
y =
过点D （2，2） ∴2
2m
=，即4=m ………………2分
∴反比例函数的解析式为x
y 4
=
………………3分 （2）∵OA=3，在矩形OABC 中，AE ⊥OA ∴点E 的横坐标为3
∵点E 在x
y 4
=
图象上 ∴点E 的纵坐标为34，∴3
4
=AE ………………4分
在Rt △OAE 中，3973432
2
2
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=AE OA OE ………………5分
∴ sin ∠EOA 9797
43
97
34
=
==OE AE ………………6分 （3）在Rt △DBE 中，32tan ==∠DB BE BDE ，32
tan ==∠BC AB BCA ………7分
∴BCA BDE ∠=∠tan tan ，
∴∠BDE=∠BCA ………………8分 ∴DE ∥CA ………………9分 （注：若采用△DBE ∽△CBA 亦可）
24.（1）如图，连接DG ，
在正方形ABCD 中，∠1=45°，∴∠4=∠1=45° ∵DE 为直径，∴∠EGD=90° …………1分 ∴∠2=180°-∠EGD-∠4=45° ∴∠1=∠2 …………2分 又∵∠AEG=∠3+∠2，∠AFD=∠3+∠1
∴∠AEG=∠AFD …………………………3分 （2）BH 与⊙O 相切，理由如下：………………4分 连接OG ，由（1）可知∠1=∠2
4名
3名 2名 1名
6名 20%
5名 6 5 4 3 2 1
0 班级个数
人数
5名 1名 2名 3名 6名 4名 全校留守儿童人数条形统计图
全校留守儿童
人数扇形统计图 O
A
B C E D y
x
●A B
C
D
E F
O
第24题图
H G
1
3
2
4
I 2
B 1
B 2
A 1A
爱心，用心，专心
∵∠1=45°，∠EGB=∠1 ∴∠EOG=2∠1=90°，∠EGB=∠2
∴ED ∥BH …………………………5分 ∴∠BGO=180°-∠EOG=90° ∴BG ⊥OG
又∵OG 为⊙O 半径
∴BH 与⊙O 相切 ……………………6分 （3）设a AE =，∵AD=4，∴AB=AD=4，BE=4-a
∴在Rt △AED 中，2
2
2
16a AE AD DE +=+= ………………7分 过点E 作EI ⊥BG 于点I.易知四边形EIGO 为正方形，
∴2
16212
a DE EO EI +===
由（2）可知，ED ∥BH ∴∠3=∠ABH ∵∠EAD=∠EIB=90° ∴△AED ∽△IBE
∴EI AD
EB DE =，即216441622a a a +=-+ ………………8分
∴4241-=a ，4242--=a （舍去） ∴424-=AE ……………………9分 25.（1）45； …………2分
（2）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，GI ⊥AD 于点I ， ∵Rt △BED 是由Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到， ∴AB=BE ，BD=CB
∴∠FAD=∠FDA=45° ∴∠AFD=90°，AF=DF ∵FH ⊥AD ∴H 为AD 中点 ∴2
9
21==
==AD HD AH FH …………3分 ∵ ∴设t ID t GI 2,==
∴ …………4分
又易知△BGI ∽△BFH
∴
BH BI FH GI =
，即2
3t 26=29t -，718
=t …………6分 ∴76
,718==BI GI
在Rt △BGI 中，7
10
622=
+=IG BI BG …………7分 （4）7326-=
x 或4
3
53-=x ………………9分 图1
C
A
B D
E F
G
I H
23,26=
-=-=-=HD BD BH t ID BD BI 2
1
63tan =
===∠BD BE ID GI EDB。