电磁场与电磁波例题详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第1章 矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为0)(0200=-+=z y x φ。
其等值面方程为 ：0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x++=的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为 ：zy dzy x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xydx yx dy xy dx 2222解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2221c y x xc z ，c 1和c 2是积分常数。
例1.3 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点（1，1，2）处沿方向角3,4,3πγπβπα===的方向导数。
解：由于1)2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂==M M yzy x ϕ, 02)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xzxy yϕ,32)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xyz zϕ,21cos ,22cos ,21cos ===γβα 所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕzy x lM例1.4 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l++=-+-+-=其单位矢量314731433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,10,2)2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xyzxzyyzxϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x lMϕγϕβϕαϕϕ例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
解：由于)66()24()32(-+-++++=∇z a x y a y x a z y xϕ所以 623)0,0,0(z y x a a a---=∇ϕ ，36)1,1,1(y x a a +=∇ϕ例1.6 运用散度定理计算下列积分：⎰⋅++-+=Sz y x S d z y xy a z y x a xz a I)]2()([2322S 是0=z 和2222y x a z --=所围成的半球区域的外表面。
解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+=则由散度定理⎰⎰⋅=⋅∇ττsS d A d A可得504202042020222252sin sin )(a drr d d d drd r d r d y x z d A S d A I aasπθθϕϕθθτττππππτττ====++=⋅∇=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1.7 试求A ⋅∇和A⨯∇:(1) 22332y x a z x a z xy a A z y x ++=(2) ϕϕϕsin cos ),,(22r a r a z r A z r+=(3) θθθϕθϕθcos 1sin 1sin ),,(2r a r a r a r A r ++=解：323200)1(z y z y zA y A x A A zy x =++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)23()23()2(322223222332xyz z x a xy z xy a x y x a y x z x z xy z y x a a a A A A z y x a a a A z y x z y x z y x z y x -+-+-=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇ϕϕϕϕϕcos 3)sin (0)cos (11)(1)2(23r r zr r r z A A r rA r r A z r =∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇]sin sin 2cos )]sin 0()sin 20()0cos ([1sin 0cos 112222ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕr a r a r a r a r a r r a r r r z r a a r a r A rA A z r a a r a r A z r z r z r z r z r+-=++-+-=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇θθθϕθθθθθϕθθθθθϕθcos 2sin 3)cos 1(sin 1)sin 1(sin 1)sin (1sin 1)(sin sin 1)(1)3(2223222rr r r r r r r A r A r A r r r A r +=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=⋅∇ θθθθθθθθθθθθθϕθθθθϕθθθϕθϕθϕθϕθϕθcos cos 1sin 2cos )]cos 0(sin )2sin 210()02cos 1([sin 1cos sin 1sin sin sin sin 1sin sin sin 1332222a ra r a r a r r a r r a r rr r a r a r a r A r rA A ra r a r a r A r r r rr-+=-+++-=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇例1.8 在球坐标中，已知204cos rp e πεθφ=，其中e p 、0ε为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即φ-∇=E。
解： 在球坐标戏中，ϕφθθφφφϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r a r a r a r)sin cos 2(44sin 2cos 04)sin (1)2(4cos )4cos (sin 1)4cos (1)4cos (3030302030202020θθπεπεθπεθπεθπεθπεθϕθπεθθπεθφθθθϕθa a r p r p a r p a r p r a r p a r p r a r p r a r p r a E r e e e r e e r e e e r+=+=-----=∂∂-∂∂-∂∂-=-∇=∴例1.9 在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域上，对矢量z a r a A z r 22+=验证高斯散度定理。
解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算⎰⋅∇ττd A和⎰⋅sS d A ，得到二者结果相同的结论。
在柱坐标系下，有23)2(0)(11)(13+=∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇r r zr r r z A A r rA r r A z r ϕϕ在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域内取一个小体积元τd ，可知dz rdrd d ϕτ=，其中50≤≤r 、πϕ20≤≤、40≤≤z ，故ππϕϕτππτ120042150)23()23(42050502040=⨯⨯=+=+=⋅∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dz d rdr r dz rdrd r d A而5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱上表面1S （面元矢量ϕrdrd a S d z=1，50≤≤r 、πϕ20≤≤、4=z ）、圆柱下表面2S （面元矢量ϕrdrd a S d z-=2，50≤≤r 、πϕ20≤≤、0=z ）和圆柱侧表面3S （面元矢量dz rd a S d r ϕ=3，πϕ20≤≤、40≤≤z 、5=r ），故有：πππϕϕϕϕϕπππππ120042125225412508)2()()2()2(2045020542020520245202321321=⨯⨯+⨯⨯=++=⋅++-⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===dzd drd r dzrd a z a r a rdrd a z a r a rdrd a z a r a S d A S d A S d A S d A r r z r z z z r z z z r S S S Sπττ1200=⋅=⋅∇∴⎰⎰sS d A d A，即证。
例1.10 现有三个矢量场A 、B、C ,分别为：ϕϕθϕθϕθsin cos cos cos sin a a a A r-+=，ϕϕϕϕsin 2cos sin 22rz a z a z a B z r++=，z a x a x y a C z y x 2)23(22++-=。
哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。
故先分别求出矢量的散度和旋度：sin sin cos cos cos sin sin sin 1sin sin sin 10)sin (sin 1)cos cos (sin sin 1)cos sin (1sin 1)(sin sin 1)(1222222=-∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇=-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=⋅∇ϕθϕθϕθϕθθθθϕθθθϕϕθϕθθθθϕθϕθθθθθϕθϕθϕθϕθr r r a r a r a r A r rA A ra r a r a r A r r r r r A r A r A r r r A r rrrsin 2cos sin 11sin 2)sin 2()cos (1)sin (11)(12222=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕrz rz z z r a a r a r B rB B z r a a r a r B r rz zz r rz r r z B B r rB r r B zr z r z r z r )62(223020222y x a zx x y zy x a a a C C C z y x a a a C z C y C x C C z zy x z y x z y x zy x -=-∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇=++-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇故B可以由一个标量函数的梯度表示，C 可以由一个矢量的旋度表示。