C
C
C
2. 参数方程的表达形式C: z=z(t) t
f(z)dzf[z(t)z](t)dt
C
.
13
举例
Re zdz
C
其中：(1) C为由原点到(1,0)再到(1,1)的折线； (2) C为由原点到 (1,1)的直线
.
14
.
15
.
16
.
17
.
18
.
19
.
20
.
21
.
22.23源自 ..34.
35
性质 连续性 可积性
解析性
级数 w n ( z ) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 w n ( z ) 在C上一致收敛，且wn(z)
n 1
在C上连续，则
wn(z)dzwn(z)dz
Cn1
n1C
级数 w n ( z )在B内一致收敛于f(z)，且
数学物理方法
南昌大学物理系 杨小松
2014年2月
.
1
第五节 平面标量场
▪ 用复变函数表示平面标量场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声 场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关， 则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究 的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该 方向的平面上的场，这样的场称为平面场。
双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。
.
46
.
47
.
48
.
49
.
50
.
51
.
52
.
53
.
54
.
55
孤立奇点
▪ 概念 若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意
邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇 点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0 以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
函数 f(x) 的Fourier展开式
fxa 0n 1 a nco n ls xb nsin ln x
2
2
其z中 rei, k0,1, 是主幅
记
0
rcosisin
2 2
i
re2
1r c o 2 s isi 2 n rei 2
.
6
支点 n-1阶支点 一阶支点
值域的幅角范 围为[0,π)
w0
w1
值域的幅角范围 为[π,2 π)
.
7
.
8
黎曼面
Riemann面
.
9
C
C
f (z)dz f (z) dz
C
C
f(z)dzM,其 l M 中 ma| fx(z)|,l为 C的长度
C
.
12
▪ 路积分的计算方法
1. 归为二元函数的积分来计算，计算公式为
f( z ) d z u ( x ,y ) d v x ( x ,y ) d iy v ( x ,y ) d u x ( x ,y ) d
取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来
表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为
A A (z) A x(x ,y ) iA y(x ,y )
.
2
.
3
.
4
▪ 理想流体定常流 ▪ 平面温度场 例题：P18 例1、例2
.
5
第六节 多值函数
根式函数
zr co s2kisin2k
n 1
wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且
f (k)(z) wn(k)(z)
.
n1
36
.
37
.
38
.
39
.
40
.
41
.
42
第5节 洛朗级数展开
▪ 问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理 告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。
问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
.
64
.
65
.
66
.
67
.
68
.
69
.
70
.
71
.
72
.
73
.
74
.
75
.
76
.
77
.
78
.
79
.
80
.
81
.
82
.
83
第五章 Fourier变换
5.1 傅立叶级数 5.2 傅里叶积分和傅里叶变换 5.3 函数
.
84
▪ Fourier展开
基本函数族
1,conslx,sinnlx n1
24
.
25
.
26
.
27
.
28
计算积分： |zi|1
(z2
1 1)2
dz
计算积分： |z2i|3
(z2
1 9)2
dz
.
29
.
30
定理二：收敛的充分必要条件
设充分w 必n 要u条n 件iv是n(n1 u,n2,和 )，v则n 都级收数敛n，1 w其n 中收u敛n和的
n 1
n 1
vn皆为实数。
.
43
▪ 双边幂级数
an(zz0)na2(zz0)2a1(zz0)1
a0a1(zz0)a2(zz0)2an(zz0)n
an(zz0)n n
其中
an(z z0)n 被称为双边幂级数的正幂部分
n0
an(z z0)n 被称为双边幂级数的负幂部分
n1
.
44
正幂部分 an(z z0)n n0
R1
定理三：收敛的必要条件
级数 w n 收敛的必要条件是 lnimwn 0 n 1
定义：绝对收敛与条件收敛
称级数
w
n
是绝对收敛的，如果 .
|
wn
| 是收敛的 31
n 1
n 1
称级数 w n 是条件收敛的， 如果 | w n | 是发散
n1
n 1
的， 而 w n 是收敛的
n 1
.
32
.
33
z0
|z-z0|<R1
负幂部分 an(z z0)n
n1
1 z z0
R2 z0
R2<|z-z0|
R1
R2 z0
.
收敛环 R2<|z-z0|<R1
45
▪ 收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换 ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在|zz0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就在 环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛，所以 R2<|z-z0|<R1给 出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数的积分 2.2 科西定理 2.3 不定积分 2.4 科西公式
.
10
.
11
▪ 性质
[A(z) f B(z) g d ] z A f(z)d z B g (z)d z
C
C
C
f(z)d zf(z)d zf(z)dz
C 1C2
C 1
C2
f(z)d zf(z)d,z其C 中 是 C 的逆向
举例
孤立奇点的例子
1, e1/z, z
1 1z2
1 非孤立奇点的例子 sin( 1 / z )
.
1,21 ,,0,,21 ,
1
56
.
57
.
58
.
59
.
60
.
61
.
62
.
63
第四章 留数定理及其应用
4.1 留数定理 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 *4.3 计算定积分的补充例题