2007年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）4的平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．162．（4分）下列各式中计算结果等于2x6的是（）A．x3+x3B．（2x3）2C．2x3•x2D．2x7÷x3．（4分）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角4．（4分）点P（﹣2，1）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）5．（4分）已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60°B．75°C．90°D．120°6．（4分）样本数据3，6，a，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是（）A．8B．5C．3D．2√27．（4分）下列说法不正确的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形8．（4分）计算(1−11−a)(1a2−1)的结果为（）A．−a+1a B．a−1aC．a1−aD．a+11−a9．（4分）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定10．（4分）已知y＝ax2+bx的图象如图所示，则y＝ax﹣b的图象一定过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限11．（4分）已知整式6x﹣1的值是2，y2﹣y的值是2，则（5x2y+5xy﹣7x）﹣（4x2y+5xy﹣7x）＝（）A．−14或−12B．14或−12C．−14或12D．14或1212．（4分）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A．1132B．1360C．1495D．1660二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．（3分）不等式2x+1＞0的解集是．14．（3分）分解因式y3﹣4y2+4y的结果为．15．（3分）把12 500取两个有效数字的近似数用科学记数法表示为．16．（3分）如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是．17．（3分）如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为cm2．三、解答题（共7小题，满分57分）18．（7分）（1）解方程：xx−3+23−x=2（2）解方程组：{2x−y=6①x+2y=−2②19．（7分）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；（2）已知：如图2，⊙O的半径为3，弦AB的长为4．求sin A的值．20．（8分）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．21．（8分）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．22．（9分）已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝CD＝10，sin C=4 5．（1）求梯形ABCD的面积；（2）点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置．23．（9分）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（−√3，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．（1）求OC的长和∠CAO的度数；（2）求过D点的反比例函数的表达式．24．（9分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=3 4．（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．2007年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）4的平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．16【解答】解：∵（±2 ）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：A．2．（4分）下列各式中计算结果等于2x6的是（）A．x3+x3B．（2x3）2C．2x3•x2D．2x7÷x【解答】解：A、应为x3+x3＝2x3，故选项错误；B、应为（2x3）2＝4x6，故选项错误；C、应为2x3•x2＝2x5，故选项错误；D、2x7÷x＝2x6，正确．故选：D．3．（4分）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角【解答】解：图中，∠2＝∠COE（对顶角相等），又∵AB⊥CD，∴∠1+∠COE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴两角互余．故选：B．4．（4分）点P（﹣2，1）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）【解答】解：一个点P（m，n）关于x轴的对称点P′（m，﹣n）所以点P（﹣2，1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣1）．故选：B．5．（4分）已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60°B．75°C．90°D．120°【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°，根据三角形内角和定理，可知k°+5k°+6k°＝180°，解得k°＝15°．所以6k°＝90°，即最大的内角是90°．故选：C．6．（4分）样本数据3，6，a，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是（）A．8B．5C．3D．2√2【解答】解：样本数据3，6，a，4，2的平均数是5，∴平均数＝5=15（3+6+a+4+2），∴a＝25﹣3﹣6﹣4﹣2＝10∴方差是S2=15[（3﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2+（4﹣5）2+（2﹣5）2]=15×40＝8．故选：A．7．（4分）下列说法不正确的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形【解答】解：A、正确，符合菱形的判定定理；B、正确，符合正方形的判定定理；C、正确，符合正方形的判定定理；D、错误，四条边都相等，四个角也都相等的四边形是正方形．故选：D．8．（4分）计算(1−11−a)(12−1)的结果为（）A．−a+1a B．a−1aC．a1−aD．a+11−a【解答】解：(1−11−a)(1a2−1)=1−a−11−a ⋅1−a2a2=−a1−a⋅(1+a)(1−a)a2=−a+1a．故选：A．9．（4分）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【解答】解：△ABC的面积为S1=12×4×4＝8，将B点平移后得到B1点的坐标是（2，1），所以△AB1C的面积为S2=12×4×4＝8，所以S1＝S2．故选：B．10．（4分）已知y＝ax2+bx的图象如图所示，则y＝ax﹣b的图象一定过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【解答】解：∵抛物线的开口向下∴a＜0∵抛物线的对称轴x=−b2a＞0，∴b＞0∴在y＝ax﹣b中，a＜0，﹣b＜0∴图象经过第二、三、四象限．故选：C．11．（4分）已知整式6x﹣1的值是2，y2﹣y的值是2，则（5x2y+5xy﹣7x）﹣（4x2y+5xy﹣7x）＝（）A．−14或−12B．14或−12C．−14或12D．14或12【解答】解：依题意得：（5x2y+5xy﹣7x）﹣（4x2y+5xy﹣7x）＝5x2y+5xy﹣7x﹣4x2y﹣5xy+7x＝x2y∵6x﹣1＝2，y2﹣y＝2，∴x=12，y＝2或y＝﹣1．∴原式=−14或12．故选：C．12．（4分）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A．1132B．1360C．1495D．1660【解答】解：根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是110×9×4=1360．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．（3分）不等式2x+1＞0的解集是x＞−12．【解答】解：原不等式移项得，2x＞﹣1，系数化为1，得，x＞−1 2．故答案为x＞−1 2．14．（3分）分解因式y3﹣4y2+4y的结果为y（y﹣2）2．【解答】解：y3﹣4y2+4y，＝y（y2﹣4y+4），＝y（y﹣2）2．15．（3分）把12 500取两个有效数字的近似数用科学记数法表示为 1.3×104．【解答】解：12 500＝1.3×104．16．（3分）如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是23．【解答】解：∵AB 间距离为6，点C 到表示1的点的距离不大于2的点是﹣1到3之间的点，满足条件的点组成的线段的长是4． ∴其概率为46=23．故答案为：23．17．（3分）如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为 12√3+36 cm 2．【解答】解：侧面积＝6×3×2＝36（cm 2），底面可以看做2个等腰梯形组成，它们的高是：√22−12=√3（cm ）， 所以两个底面积是：2×2×√3(2+4)2=12√3（cm 2），表面积＝（12√3+36）cm 2．三、解答题（共7小题，满分57分） 18．（7分）（1）解方程：x x−3+23−x=2（2）解方程组：{2x −y =6①x +2y =−2②【解答】（1）解：x x−3+23−x=2去分母得：x ﹣2＝2（x ﹣3）， 解得：x ＝4．经检验x ＝4是原方程的根． （2）解：①×2+②得：5x ＝10， 解得：x ＝2，将x ＝2代入①得：y ＝﹣2．∴方程组的解为{x =2y =−219．（7分）（1）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ； （2）已知：如图2，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为4．求sin A 的值．【解答】证明：（1）∵AF ＝BE ，EF ＝EF ，∴AE ＝BF ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ， ∴△DAE ≌△CBF ， ∴DE ＝CF ；解：（2）过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，则有AC ＝BC ， ∵AB ＝4，∴AC ＝2， 在Rt △AOC 中，OC =√OA 2−AC 2=√32−22=√5， sin A =OC OA =√53．20．（8分）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同． （1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．【解答】解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，（1分） ∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是27；（2分）（2）组成的所有两位数列表为：十位数 个位数 12341 11 21 31 412 12 22 32 42 313233343或列树状图为：（6分）∴这个两位数大于22的概率为712．（8分）21．（8分）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．【解答】解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车（8﹣x ）辆， 由题意得：{40x +30(8−x)≥29010x +20(8−x)≥100，解得：5≤x ≤6． 即共有2种租车方案：方案一：租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 方案二：租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．（2）解法一：第一种租车方案的费用为5×2000+3×1800＝15400（元）； 第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800＝15600（元）． ∴租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆的方案更省费用．解法二：设总的租车费用为y元，y＝2000x+1800（8﹣x）＝14400+200x，5≤x≤6．∵200＞0，∴y随x增大而增大，∴当x＝5时，取得最小值，y＝5×2000+3×1800＝15400（元）；∴租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆的方案更省费用．22．（9分）已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝CD＝10，sin C=4 5．（1）求梯形ABCD的面积；（2）点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置．【解答】解：（1）过点D作DM⊥BC，垂足为M，在Rt△DMC中，DM＝CD•sin C＝10×45=8CM=√CD2−DM2=√102−82=6∴BM＝BC﹣CM＝10﹣6＝4，∴AD＝4∴S梯形ABCD=12（AD+BC）DM=12（4+10）×8＝56；（2）设运动时间为x秒，则有BE＝CF＝x，EC＝10﹣x过点F作FN⊥BC，垂足为N，在Rt△FNC中，FN＝CF•sin C=4 5x∴S△EFC=12EC•FN=12（10﹣x）×45x=−25x2+4x当x=−42×(−25)=5时，S△EFC=−25×52+4×5＝10即△EFC面积的最大值为10，此时，点E，F分别在BC，CD的中点处．23．（9分）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（−√3，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．（1）求OC的长和∠CAO的度数；（2）求过D点的反比例函数的表达式．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴AC是⊙B的直径．∴AC＝2．又∵点A的坐标为（−√3，0），∴OA=√3．∴OC=√AC2−OA2=√22−(√3)2=1．∴sin∠CAO=OCAC=12．∴∠CAO＝30°；（2）如图，连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E，∵OD为⊙B的切线，∴OB⊥OD．∴∠BOD＝90°．∵AB＝OB，∴∠AOB＝∠OAB＝30°．∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝30°+90°＝120°．在△AOD中，∠ODA＝180°﹣120°﹣30°＝30°＝∠OAD．∴OD＝OA=√3．在Rt △DOE 中，∠DOE ＝180°﹣120°＝60°， ∴OE ＝OD •cos60°=12OD =√32，ED ＝OD •sin60°=32．∴点D 的坐标为(√32，32)．设过D 点的反比例函数的表达式为y =kx ， ∴k =√32×32=3√34． ∴y =3√34x ．24．（9分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），tan ∠BAC =34． （1）求过点A ，B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P ，Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A （﹣3，0），C （1，0），∴AC ＝4，BC ＝tan ∠BAC ×AC =34×4＝3，B 点坐标为（1，3）， 设过点A ，B 的直线的函数表达式为y ＝kx +b ，由{0=k ×(−3)+b 3=k +b得k =34，b =94， ∴直线AB 的函数表达式为y =34x +94（2）如图，过点B 作BD ⊥AB ，交x 轴于点D ， 在Rt △ABC 和Rt △ADB 中， ∵∠BAC ＝∠DAB ， ∴Rt △ABC ∽Rt △ADB ， ∴D 点为所求，又tan ∠ADB ＝tan ∠ABC =43， ∴CD ＝BC ÷tan ∠ADB ＝3÷43=94， ∴OD ＝OC +CD =134，∴D （134，0）；（3）这样的m 存在．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝5， 如图1，当PQ ∥BD 时，△APQ ∽△ABD ，则m 5=3+134−m3+134，解得m =259， 如图2，当PQ ⊥AD 时，△APQ ∽△ADB ， 则m 3+134=3+134−m5，解得m =12536．。