2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日：—：历年高考试题汇编（文）——导数及应用1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ）A ．2e B．e C．2D．12.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ）A. 0B. 1C. 2D. 33.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B )4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为f(x) 的极小值点C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ：q : x x0是 f ( x) 的极值点，则A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【答案】 C6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为___________________.【答案】 2x-y+1=07．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于x 轴，则k【答案】 -18．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ．【答案】1 29 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.【答案】 5x+y+2=010．（2013 江西文）若曲线 y= xα +1（α∈ R）在点（ 1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。

【答案】 211.(2012 新标文 ) 曲线y x(3ln x 1)在点（1,1）处的切线方程为____4x y 3 0 ____12．（2014 江西理）若曲线y e x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0 ，则点P的坐标是________.【简解】设 P(x,e-x )，e x =- e x =-2,解得 x=-ln2 ，答案 (-ln2,2) 13．（2014 江西文）若曲线y x ln x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0, 则点 P 的坐标是_______.【简解】设 P(x,xlnx), xln x =1+lnx=2,x=e ，答案 (e,e) 14．（2012 辽宁文）函数 y= 12 x2㏑ x 的单调递减区间为（ B ）（A）（ 1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）15．(2014 新标 2 文) 若函数f x kx lnx 在区间 1,单调递增，则 k 的取值范围是（ D ）（ A ）, 2 （ B）, 1 （ C）2, （D）1,16. (2013 新标 1 文) 函数f ( x) (1 cos x)sin x在[ , ] 的图象大致为（）【简解】y = sin 2 x (1 cos x) cos x =-2cos2x-cosx+1=(1+cosx)(1-2cosx)>0,-π/3<x< π/3；y =4cosxsinx+sinx，在 x=0 处为拐点。

选 C 17.（2015 年新课标 2 文）已知曲线y x ln x在点1,1 处的切线与曲线 y ax2 a 2 x 1 相切,则a=8．18.（2015 年陕西文）函数y xe x在其极值点处的切线方程为_____y1e _______.19. （2015 年天津文）已知函数 f x ax ln x, x 0,, 其中 a为实数 , f x 为 f x 的导函数,若 f 1 3 ,则a的值为3．20、(2017 ·全国Ⅰ文， 14)曲线 y＝x2＋1在点 (1,2)处的切x线方程为 ___x－y＋1＝0._____．21、(2017 ·浙江， 7)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( D )22、（2016 年天津高考）已知函数 f ( x) (2 x+1)e x , f ( x) 为 f (x) 的导函数，则 f (0) 的值为_____3_____.23、（2016 年全国 III卷高考）已知 f x为偶函数，当x 0时， f ( x) e x 1x ，则曲线y f x 在点(1,2)处的切线方程式______________y 2x _______________. 24．（2012 福建理）已知函数 f(x)＝e x＋ax2－ex， a∈R．(1)若曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求函数 f(x)的单调区间；【解析】 (1)由于 f′(x)＝e x＋2ax－e，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率 k＝2a＝ 0，所以 a＝0，即 f(x)＝e x－ex．此时 f′(x)＝e x－e，由 f′(x) ＝0 得 x＝1．当x∈(－∞，1)时，有 f′(x)＜ 0；当 x∈(1，＋∞ )时，有 f′(x)＞0．所以 f(x)的单调递减区间为 (－∞， 1)，单调递增区间为 (1，＋∞ )．25.(2013 新标 1 文) 已知函数f ( x) e x(ax b) x24x，曲线y f (x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y 4x 4 。

（Ⅰ）求 a, b 的值；（Ⅱ）讨论 f (x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值。

【简解】(1)f ′＝(x)e x(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0) ＝4，f′(0)＝4，故 b＝4，a＋b＝8.从而 a＝4，b＝4. (2)由(1)知， f(x) ＝4e x(x＋1)－x2－4x. f ′(x) ＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2) e x－1 2 .当x∈(－∞，－ 2)∪(－ln 2，＋∞ )时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ ln 2)时， f′ (x)<0.故f(x) 在(－∞，－ 2)，(－ln 2，＋∞ )上单调递增，在(－2，－ ln 2)上单调递减．当x＝－ 2 时，函数 f(x) 取得极大值，极大值为 f( －2)＝4(1 －e－2) ．26.(2014 新标 1 文 ) 设函数f x a ln x 1 a x2 bx a 1 ，曲线2y f x 在点 1，f 1处的切线斜率为0。

求 b; ⑵若存在x01,使得a，求a的取值范围。

f x0a 1⑴【解析】（I ）f'(x)a(1 a) x b，由题设知f'(1) 0，解得b 1.x（2）函数 f（x）的定义域为（ 0，+∞），由（ 1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当 a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数 f（x）在（ 1，+∞）单调递增，∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1 时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数 f（x）在上单调递减；当 x∈时，f（′x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若 a＞1 时， f（1）=，成立．综上可得： a 的取值范围是．27.( 2013 新标 2 理) 已知函数 f(x)＝ e x－ln( x＋m)．(1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.【解析】 (1)f(x)＝ e x－ ln(x＋ m)? f′(x)＝e x－x＋1 m?f′(0)＝e0－1 ＝0? m＝1，定义域为{x|x>－1}，0＋mf′(x)＝e x－1＝e x x＋1－1，显然f(x)在(－1,0]上x＋m x＋1单调递减，在 [0，＋∞)上单调递增．28．（2013 北京文）已知函数f (x) x2x sin x cos x（1）若曲线y f ( x)在点(a, f ( a))处与直线y b相切，求a与b的值。

（2）若曲线y f ( x)与直线y b有两个不同的交点，求b的取值范围。

【解析】（1）f '(x) 2x x cos x x(2 cos x)，因为曲线y f ( x) 在点 (a, f (a)) 处的切线为y b所以f '(a)，即2a2a cosa 0，解得a 0f ( a) b aa sin a cosa bb 1（2）因为 2cosx 0，所以当 x时 f '( x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x 0时 f '( x) 0 ， f ( x) 单调递减，所以当 x 0 时， f ( x) 取得最小值 f (0) 1，所以 b 的取值范围是 (1, )29．（2012 山东）已知函数 f ( x) ln x xk(k 为常数，e=2.71828⋯e是自然对数的底数 )，曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴 平行 .(Ⅰ)求 k 的值；(Ⅱ)求 f (x) 的单调区间；1 k【解析】 (I)f (x)ln xf (1)0 ，∴ k 1.x1 kee1ln x 1111(II) 由(I) 知，f ( x)xx.设ln x 1 ，则k ( x)0 ，即k( x)2k( x)在 (0,)上是减函数，由k(1) 0知，当 0x 1时 k( x) 0 ，从而 f ( x) 0 ，当 x 1时 k( x) 0 ，从而 f (x) 0 .综上可知，f (x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是 (1, ) .30. (2017 ·天津文， 10)已知 a ∈R ，设函数 f(x)＝ax －ln x的图象在点 (1，f(1))处的切线为 l ，则 l 在 y 轴上的截距为 _____1___．31.（2015 年新课标 2 文）已知 f xln x a 1 x.（I ）讨论f x的单调性；（ II ）当f x有最大值 ,且最大值大于 2a 2 时,求a的取值范围.x(e x－a)－a2x.32.(2017 ·全国Ⅰ文， 21)已知函数 f(x)＝e(1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x) ≥0，求 a 的取值范围．1．解(1)函数 f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x －ae x－a2＝(2e x＋a)(e x－a)．①若 a＝0，则 f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．②若 a>0，则由 f′(x)＝0，得 x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时， f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时， f′(x)>0.故 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．a③若 a<0，则由 f ′(x)＝0，得 x ＝ln －2 .a当 x ∈ －∞，ln －2 时， f ′(x)<0；a当 x ∈ ln －2 ，＋ ∞时， f ′(x)>0.aa故 f(x)在 －∞，ln －2 上单调递减，在 ln －2 ，＋ ∞上单调递增．(2)①若 a ＝0，则 f(x)＝e 2x，所以 f(x) ≥0.②若 a>0，则由 (1)知，当 x ＝ln a 时， f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)＝－ a 2ln a ，从而当且仅当－ a 2ln a ≥0，即 0＜a ≤1时， f(x) ≥ 0.a③若 a<0，则由 (1)知，当 x ＝ln －2 时，f(x)取得最小值， 最小值为 fln －a＝a 23－ln －a，从而当且仅当2 4 2a2 3 a34－ln －2 ≥0，即 a ≥－2e 4时 f(x) ≥ 0.3综上， a 的取值范围是 [－2e 4，1]．33、（2016 年北京高考）设函数 f x x3ax2bx c.（I ）求曲线y f x .在点0, f 0处的切线方程；（II ）设a b 4，若函数f x有三个不同零点，求 c 的取值范围；解：（I ）由f x x3 ax2 bx c ，得 f x 3x2 2ax b ．因为 f 0 c ， f 0 b ，所以曲线（II ）当y f x在点 0, f 0 处的切线方程为 y bx c ．a b 4时， f x x3 4x2 4x c ，所以 f x 3x2 8x 4．令 f x 0 ，得 3x2 8x 4 0 ，解得x 2 或x 32．f x与 f x 在区间, 上的情况如下：x , 2 22 2 2 2,3,3 3f x 0 0f x Z c ] c 32Z 27所以，当 c 0 且c 32 0 时，存在x1 4, 2 ， x2 2, 2 ，27 3x3 2,0 ，使得 f x1 f x2 f x3 0 ．3由 f x 的单调性知，当且仅当 c 0, 32 时，函数 f x x3 4x2 4x c27有三个不同零点．34、（2016 年全国 II 卷高考）已知函数 f ( x) ( x 1)ln x a( x 1) .（I ）当a 4 时，求曲线y f ( x) 在1, f (1) 处的切线方程；（Ⅱ）若当 x 1, 时， f ( x)＞0 ，求 a 的取值范围 . 解析：（I ） f ( x) 的定义域为 (0, ) .当 a 4 时，1 f ( x) ( x 1)ln x 4( x 1), f ( x)ln x3 ， f (1)2, f (1) 0.x所以曲线 y f ( x)在 (1, f (1))处的切线方程为 2 xy 20.（II ）当 x(1, )时， f ( x) 0a( x 1) 0.等价于 ln xx 1令 g(x) ln xa( x 1)，则 12ax 2 2(1 a) x 10 ，g (x)2x( x 1) 2, g(1)x 1x (x 1)（i ）当 a 2 ， x (1, ) 时， x 22(1 a) x 1 x 22x1 0，故 g (x) 0, g(x) 在 x (1,)上单调递增，因此 g ( x)；（ii ）当 a 2 时，令 g (x) 0得 x 1a 1( a 1)2 1, x 2 a 1 (a1)2 1 ，由x 2 1和 x 1 x 2 1 得 x 11，故当 x (1,x 2 ) 时， g ( x) 0 ， g( x) 在 x(1,x 2 )单调递减，因此 g( x) 0 .综上， a 的取值范围是,2 .35．(2017 ·北京文， 20)已知函数 f(x)＝e xcos x －x.(1)求曲线 y ＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线方程；π(2)求函数 f(x)在区间 0，2 上的最大值和最小值．4．解(1)因为 f(x)＝e x cos x －x ，所以 f ′(x)＝e x(cos x －sin x)－1，f ′ (0)＝0.又因为 f(0)＝1，所以曲线 y ＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线方程为 y ＝1.(2)设 h(x)＝ e x (cos x －sin x)－1，则 h ′(x)＝e x(cos x －sin x－sin x－cos x)＝－ 2e x sin x.当 x∈，π时， h′(x)＜0，所以 h(x)在区间，π上单调2 0 2 递减，所以对任意 x∈ 0，π2有 h(x)＜h(0)＝0，即 f′(x)＜0，所π以函数 f(x)在区间 0，2上单调递减，ππ因此 f(x)在区间 0，2上的最大值为 f(0)＝1，最小值为 f 2 π＝－2.36．(2017 ·山东文， 20)已知函数 f(x)＝13x3－21ax2，a∈R.(1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 (3，f(3))处的切线方程；(2)设函数 g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6．解(1)由题意 f ′(x)＝x2－ax，所以当 a＝2 时， f(3) ＝0，f′(x)＝x2－2x，所以 f′(3)＝3，因此曲线 y＝f(x)在点 (3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即 3x－y－9＝0.37、(2016 新课标 1) 已知函数 f(x)=(x -2)e x +a(x -1)2.(Ⅰ )讨论 f(x)的单调性； (Ⅱ )若有两个零点，求 a 的取值范围 . 解： (Ⅰ ) f '(x)=(x -1)e x +a(2x -2)=(x -1)(e x +2a). x ∈ R ⋯2 分 (1)当 a ≥0 时，在 (-∞,1)上， f '(x)<0， f(x)单调递减； ⋯ 分在(1,+∞)上， f，f(x) 单调递增。