C．m>n>pD．p>m>n
解析：∵a>1，∴a2＋1>2a,2a>a－1.
已知m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，
∴m、n、p的大小关系为m>p>n.
答案：B
7．若1< < ，则有如下结论：
①logab>logba；②|logab＋logba|>2；③(logba)2<1；④|logab|＋|logba|>|logab＋logba|.
解析：由4≤ ≤9，得16≤ ≤81.
又∵3≤xy2≤8，∴ ≤ ≤ ，∴2≤ ≤27.
又∵x＝3，y＝1满足条件，这时 ＝27.
∴ 的最大值是27.
答案：27
13．设f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈，若f(0)≤2，f(1)≤2，求a＋b的取值范围．
解：∵f(0)＝b－2a，f(1)＝b＋2a－3，
① > ；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是()
A．①B．①②
C．②③D．①②③
解析：由a>b>1，c<0得 < ， > ；幂函数y＝xc(c<0)是减函数，所以ac<bc；因为a－c>b－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正确，选D.
将上式中的右式减左式，得－＝－＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
逆推可得所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝ ，logba＝ ，logcb＝ ，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋ ≤ ＋ ＋xy，
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立．
且f(0)≤2，f(1)≤2，
∴a＝ ，b＝ ⇒a＋b＝ ≤ .
∴a＋b的取值范围是 .
14．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋ ≤ ＋ ＋xy；
(2)设1<a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明：(1)∵x≥1，y≥1，
∴x＋y＋ ≤ ＋ ＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
不等关系与不等式
A组 基础巩固
1．已知c<d，a>b>0，下列不等式中必成立的一个是()
A．a＋c>b＋dB∵c<d，∴－c>－d.又∵a>b>0，∴a－c>b－d.故选B.
答案：B
2．下列说法正确的个数为()
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则 > .
C．1＋dm＋n≥dm＋dnD．不能确定
解析：1＋dm＋n－(dm＋dn)＝(1－dm)＋dn(dm－1)＝(1－dm)(1－dn)．
∵m，n∈N*,1－dm与1－dn同号，∴(1－dm)(1－dn)>0.
答案：A
12．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤ ≤9，则 的最大值是________．
3．若x≠2且y≠－1，则M＝x2＋y2－4x＋2y的值与－5的大小关系是()
A．M>－5 B．M<－5
C．M＝－5 D．不能确定
解析：M－(－5)＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2，∵x≠2且y≠－1，∴(x－2)2＋(y＋1)2>0，∴M>－5.故选A.
答案：A
4．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
10．已知a>b>c>0，求证： > > .
证明：因为 － ＝ ， － ＝ .又a>b>c>0，则a－c>0，a－b>0，b－c>0，所以 >0， >0，即 － >0， － >0，所以 > > .
B组 能力提升
11．若d>0，d≠1，m，n∈N*，则1＋dm＋n与dm＋dn的大小关系是()
A．1＋dm＋n>dm＋dnB．1＋dm＋n<dm＋dn
解析：由b的范围，可求－b的范围， 的范围，再由不等式性质，可求a－b的范围， 的范围．由15<b<36⇒ ⇒－24<a－b<45.由15<b<36⇒ ⇒ < <4.∴a－b， 的取值范围分别为(－24,45)， .
答案：(－24,45)
9．(1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小；
∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)>0，
∴x－y>0，∴x>y.
(2)P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga .
当a>1时，a3＋1>a2＋1，
∴ >1，∴loga >0；
当0<a<1时，a3＋1<a2＋1，
∴ <1，∴loga >0.
综上可知，当a>0且a≠1时，P－Q>0，即P>Q.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①∵a>|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正确；
②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－3<1－(－2)，故②错误；
③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)<1×(－2)，故③错误；
④∵a>b>0，∴0< < 且c<0，∴ > ，
∴④正确．
答案：B
(2)已知a>0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，比较P与Q的大小．
解：(1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝m3(m－n)－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)．
∵m≠n，∴(m－n)2>0.
又∵m2＋mn＋n2＝ 2＋ >0，
答案：D
5．若a<b<c，则 ＋ 的值为()
A．正数B．负数
C．非正数D．非负数
解析： ＋ ＝ ＝ .
∵a<b<c，∴c－b>0，a－c<0，a－b<0，
∴ >0.
答案：A
6．若a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为()
A．n>m>pB．m>p>n
其中，正确的结论是________(填序号)．
解析：用特殊值法．由1< < ，知0<b<a<1.
令a＝ ，b＝ ，则logab＝2，logba＝ .
可判定①②③均正确，④不正确．
答案：①②③
8．已知12<a<60,15<b<36，则a－b的取值范围为________， 的取值范围为________．