y
a
S
S
r Ef o o S0
perigee x
M
n
n
M
E E
f r
(x,
y)
(1) 计算卫星在轨道平面内的坐标
n M E f
E
r
(
x,
y)
① 由已知轨道参数 a ，计算平均角速度 n
n2a3
(1) 计算卫星在轨道平面内的坐标
n M E f
E
r
(
x,
y)
② 已知卫星过近地点时刻τ ，计算平近点角 M
M nt n
M nt M0
(1) 计算卫星在轨道平面内的坐标
n M E f
E
r
(
x,
y)
③ 开普勒方程 ，计算偏近点角 E
M E esin E
(1) 计算卫星在轨道平面内的坐标
n M E f
E
r
(
x,
y)
④ 计算真近点角 f cos f cos E e 1 e cos E
V2 (2 1)
ra
r a(1 e cos E ) r cos f a(cos E e)
r sin f a 1 e2 sin E
tg f
1
21
n2a 3
etg E e2
E e sin E n(t )
§3.4 二体问题的卫星星历计算
二体问题的卫星星历计算
1. 卫星的瞬时位置 2. 卫星的运行速度 3. 卫星视位置计算 4. 卫星位置和速度计算的实用方法
6. 几种近点角与时间的关系
1. 平近点角与时间的关系
M n(t ) M0 n
dM ndt
2. 平近点角与偏近点角的关系
开普勒方程 E esin E n(t )
dE 1 dM 1 e cos E
dE a dM r
r a(1 e cosE)
3. 偏近点角与真近点角的关系
x y z
a
cos E e
(1 e2 ) sin E
0
微分
x
a
sin
E
dE dt
y a
1 e2 cos E dE
dt
n(t ) E esin E
dE n dt 1 e cos E
dE na dt r
r a(1 e cos E)
x
n sin E a (1 e cos E)
计算思路
（1）计算卫星在轨道平面内 的坐标（ x , y ）
（2）计算卫星在天球坐标系 内的坐标（Xcs，Ycs，Zcs）
（3）计算卫星在地球坐标系 内的坐标（X，Y，Z）
X
Z
赤道
地心
ω
春分点
Ω
f 近地点
i
Y
轨道
升交点
(1) 计算卫星在轨道平面内的坐标
(x, y)
fr
r a(1
E
apogee
e cos E)
cos f cos E e 1 e cos E
sin f 1 e2 sin E 1 e cos E
tan f sin f sin E 1 e2 1 e tan E 2 1 cos f 1 cos E 1 e 1 e 2
4. 二体问题的基本关系式
轨道方程 速度公式 几何关系
r a(1 e2 ) 1 e cos f
0º
X
ZN
北极
P
O B
L 赤道
U E
Y
(1)站心直角坐标系
• 坐标原点：P点 • E：指向东方 • N：指向真北 • U：法向 • 左手坐标系 平移 XP YP ZP
Z
ZN
北极
P
X
O
B
L
0º
X
赤道
U E
Y Y
(1)站心直角坐标系
• 坐标原点：P点 • E：指向东方 • N：指向真北 • U：法向 • 左手坐标系 平移
• 选择其他参考面。
3. e = 0 的情况
Z
赤道
地心
ω
春分点
Ω
f 近地点
i
Y
X
轨道
升交点
b
a
• 当e＝0时，卫星轨道为正圆；
• ω、 M0无法表示确定
a,i, , e cos ,
e sin , M
3.3 运动微分方程的解
• 1. 面积积分 • 2. 轨道积分 • 3. 开普勒积分 • 4. 能量积分和活力公式 • 5. 轨道根数 • 6. 几种近点角与时间的关系
0
0
cos sin
0
sin
cos
cos 0 sin
Ry
(
)
0
1
0
sin 0 cos
2. 卫星的运行速度
计算思路
（1）计算卫星在轨道平 面内的速度
（2）计算卫星在天球坐 标系内的速度
（3）计算卫星在地球坐 标系内的速度
Z
赤道
地心
ω
春分点
Ω
f 近地点
i
Y
X
轨道
升交点
(1)轨道直角坐标系中
d
Rz G
dt
X Y Z
cs
Rz
G
X
Y
Z
cs
d
Rz G
dt
e
地球自转角速度
(4)协议地球坐标系的速度
X
X
Y Ry (xp )Rx ( yp ) Y
Z
CTS
Z
et
X Y Z
CTS
X
R2( xp )R1( yp ) Y Z
et
§2.4 二体问题的卫星星历计算
• 1. 卫星的瞬时位置 • 2. 卫星的运行速度 • 3. 卫星视位置计算 • 4. 卫星位置和速度计算的实用方法
29
7 21
§2.4 二体问题的卫星星历计算
• 1. 卫星的瞬时位置 • 2. 卫星的运行速度 • 3. 卫星视位置计算 • 4. 卫星位置和速度计算的实用方法
作业
• 二体问题中，卫星位置计算的基本流程； • 二体问题中，卫星速度计算的基本流程；
上机
• 计算任意时刻卫星的位置和速度
a 9599999.888m e 0.01
y
n 1 e2 cos E a (1 e cos E)
(2)计算卫星在天球坐标系内的速度
X
x
Y
=R3
()
R1
(i
)
R3
(
)
y
Z CS
0
X
Y
x
=R3
()
R1
(i)
R3
(
)
y
Z
CS
0
(3)地球坐标系的速度
X
X
Y Z
et
= Rz G
Y Z
cs
X
Y
Z et
3. 卫星视位置计算
3. 卫星视位置计算
• 已知条件
➢ 测站在地心地固坐标系中的坐标 ➢ 卫星在地心地固坐标系中的坐标
X P ,YP , Z P
XS ,Y S ,Z S
• 未知数
➢ 卫星在站心直角坐标系中的坐标 N , E,U
➢ 卫星在站心极坐标系中的坐标 A, h, d
(1)站心直角坐标系
• 坐标原点：P点 • N：指向真北 • E：指向东方 • U：法向 • 左手坐标系
1. 卫星的瞬时位置
1. 卫星的瞬时位置
• 已知条件
➢ i：轨道面的倾角。
➢Ω：升交点的赤经。 ➢ a：轨道椭圆长半轴。 ➢ e：轨道椭圆的偏心率。 ➢ω：近地点角距。 ➢ M0：卫星过近点时刻。
• 时间参数
➢任意时刻 t t 属于导航系统时 • 未知数
➢ 卫星位置（X，Y，Z）
（X，Y，Z）属于地固坐标系
第05次课 卫星位置计算
知识回顾
Z
赤道
地心
ω
春分点
Ω
f 近地点
i
Y
X
轨道
升交点
• i：轨道面的倾角，即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角。
• Ω：升交点的赤经，即在地球赤道平面上，升交点与春分点之间的地心夹
角。升交点为当卫星由南向北运行时，其轨道与地球赤道面的一个交点。 以上2个参数，唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相对定向。
(1) 计算卫星在轨道平面内的坐标
n M E f
E
r
(
x,
y)
⑥ 计算卫星在轨道平面直角坐标系的坐标
x cos f
cos E e
y
r sin f
a (1 e2)sin E
(2)计算卫星在天球坐标系内的坐标
• 绕h旋转ω • 绕x轴旋转i • 绕Zcs轴旋转Ω
R3 ()
R1 (i)
R3 () X
100.0 50.0 i 30.0 0 : 00 : 00
C=299792458 m/s GM＝3986005×108m3/s2
=3.1415926535898 =109
X P 旋转1 1 YP 2 R3 LP
ZP
0º
X
Z
ZN
北极
P
O B
L 赤道
U
Y
E
X Y
(1)站心直角坐标系
• 坐标原点：P点
• E：指向东方
• N：指向真北
• U：法向
• 左手坐标系
0º
X
平移
X P 旋转1 旋转2 1 YP 2 R3 LP 3 R2 90 BP
ZP
ZN
北极