数学模型:[英文]：mathematical model[解释]：对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，通过一些必要的假设和简化后所作的数学描述。

利用模型，通过数学的分析处理，能够对原型的现实性态给出深层次的解释，或预测原型未来的状况或提供处理原型的控制或优化的决策。

它是数学理论和方法用以解决现实世界实际问题的一个重要途径。

例如牛顿第二定律所描述的力和运动的关系 F ＝ ma ＝ md 2 s ／ dt 2 给出了受外力 F 作用的物体运动的距离 s ( t )与 F 的关系。

它是一个数学上的二阶微分方程，假设物体为一个质点，不存在阻力，摩擦力等的前提下描述了物体的运动与所受外力的依赖关系。

这就是动力学一个最基本的数学模型。

利用它就可以从理论上探讨大量的动力学的现象。

当代由于数学向各门学科的全面渗透，数学不仅仅是物理学的研究工具，它已成为各门学科的一个重要的研究手段，建立数学模型最重要的步骤是首先要把研究对象通过化简，归结出它的数学结构，以便于使用数学理论和方法。

由于数学模型在科学发展中的重要性，它和数学建模已经逐渐从各门学科中独立出来，成为应用数学的一个重要的方向而进入学校的教学计划。

与数学的演绎推理不同，数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的信息通过假设、化简加以翻译归纳的产物，因此随着研究目的、简化方式的不同，同一个原型的数学模型可以有不同的表现方式，它可以是确定型的，也可以是随机的；可以是连续型的，也可以是离散的。

因此对于同一个原型，可以使用不同的数学分支，通过相应的模型进行研究。

当然通过数学抽象出来的模型较之原型有更宽的覆盖面，甚至于能够描述不同学科有关对象的变化关系。

由于现实世界的复杂性，科学技术发展到今天，还不能给出普遍适用的建立数学模型的准则和技巧。

在一些使用模型较多的研究领域内，已经开始形成了自己的数学模型及建模体系，例如种群生态学中的数学模型，经济学中的数学模型，天气预报的数学模型，当然也包括理论力学——作为物理中运动和力学的数学模型。

但多数对象还没有形成完整的体系和理论。

这一类问题的模型往往因研究对象而异，有人称这一大类模型为模块插件，还有待连接成一个整体。

[英文]：mathematics，foundation of[解释]：研究数学的基础，回答“数学是什么？”，“数学的基础是什么？”，“数学是否和谐？”等等一些数学上的根本问题的学科。

发展概况在数学的发展过程中曾遇到过3次危机。

第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段：正方形的一边与其对角线不可公度，即发现不是有理数。

这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。

尽管原本还不是严格的公理系统，但它充分表明直观、经验不可全信，几千年来对几何学的研究，特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。

严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。

17世纪后半期I. 牛顿，G.W. 莱布尼兹创立了微积分学，但他们对无穷小的解释很难令人满意，英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分，指出它在逻辑上有明显的问题，这便是第二次数学危机。

这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础，只进行运算是不行的。

19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论，以极限为基础建立微积分学。

A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。

与此同时，传统逻辑发展为数理逻辑。

数理逻辑是数学基础的重要内容。

数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论，后人称这个悖论为罗素悖论：以 S 表示所有不以自身为元素的集合的全体。

按照集合论的概括原则（构成集合的原则）， S 应该是一个集合。

现在问 S 是否是 S 的一个元素？如果 S ∈ S ，则按照 S 的定义应有 S S ；如果 S S ，则按 S 的定义又应有 S ∈ S 。

无论哪种情况都导致矛盾。

罗素悖论动摇了集合论，也动摇了当时的数学基础。

因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。

这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。

这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。

数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。

罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。

集合论中包含矛盾这个事实，实际上稍早以前就已发现。

朴素集合论的创始人G. 康托尔，1895年就发现了“最大序数悖论”(所有序数的集合有更大序数)；1899年他又发现“最大基数悖论”（所有集合的集合有最大基数，但由这个集合的一切子集构成的集合有更大的基数）。

对于这两个悖论当时人们也感到吃惊，但认为这是集合论中的一些技术性问题，只要作一些技术改进就可消除，因此没有引起人们的极大关注。

三次数学危机的发生是数学深入发展的结果，许多数学家为消除危机作了不懈的努力。

这些努力促进了数学的发展，特别是促进了数学基础的研究。

其中第三次危机对数学的影响更大。

人们公认集合论是数学的基础，在数学中有着广泛的应用，任何一门数学都离不开它。

非欧几何学的和谐性归结为欧几里得几何学的和谐性；欧几里得几何学的和谐性又归结为实数系统的和谐性；而实数系统的和谐最终归结为集合论的和谐性。

但集合论是有矛盾的。

第三次数学危机开始时，很多数学家对集合论的改造持旁观态度，认为可由逻辑学家去讨论。

后来发现这样行不通，因为在数学论证中每人必须采用某一派的观点，无法回避。

研究学派自罗素悖论发现以来，对数学基础的研究有三个主要派别：逻辑主义、形式主义和直觉主义。

①逻辑主义。

以罗素和A.N怀特海为代表。

他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念，而算术概念可借助逻辑由定义给出。

他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统，并由此推出全部数学。

逻辑主义认为数学是逻辑的延伸，在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理。

如果没有这两条公理就无法推导出全部算术，更不用说全部数学。

当然，罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系，并且在此基础上展示了丰富的数学内容，对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用，贡献是很大的。

②直觉主义。

又称构造主义。

它的代表人物是L.E.J.布劳威尔。

直觉主义者认为数学产生于直觉，论证只能用构造方法，他们认为自然数是数学的基础。

当证明一个数学命题正确时，必须给出它的构造方法，否则就是毫无意义的，直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的，把它应用于无穷数学就必然引起矛盾。

他们反对在无穷集合中使用排中律。

他们不承认实无穷体，认为无穷是潜在的，只不过是无限增长的可能性。

可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。

但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。

失去了数学的美，因而不被大多数数学家接受。

③形式主义。

以D. 希尔伯特为代表，可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。

希尔伯特主张捍卫排中律，他认为要避免数学中的悖论，只要使数学形式化和证明标准化。

为了使形式化后的数学系统不包含矛盾，他创立了证明论(元数学)。

他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。

1931年K.哥德尔证明了不完全性定理，表明希尔伯特方案不能成功。

后来许多人对希尔伯特方案加以改进。

W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性。

在数学基础的研究中，鲁宾孙，P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者），他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统，“无穷集”，“无穷整体”等在客观上是不存在的。

希尔伯特的设想虽然没有实现，但却创立了证明论，又促进了递归论的发展，因此对数学基础的研究有很大的贡献。

古代由于科学技术发展水平的限制，无需专门研究数学基础，这种情况一直持续到牛顿、莱布尼兹创立微积分的时代。

非欧几何的出现使人们意识到必须为数学建立不依赖于直观的基础，必须研究数学的可靠性，特别是无矛盾性，无公度线段的存在及集合论的悖论说明人们不能只依靠直观，而必须为数学建立严格的逻辑基础，解决数学的哲学基础问题。

因此数学基础是包括哲学方法论和逻辑等诸方面问题的学科，数学基础现已形成数学的重要分支之一。

[英文]：mathematical programming[解释]：研究在某些约束条件下函数的极值问题的学科。

数学规划是运筹学的重要分支，也是它最重要的基础之一。

大量实际问题，如物资调运、场址选择、资源分配、市场销售、任务指派等都可以归结为数学规划问题来处理。

通常把需要求极值的函数称作目标函数，并根据约束条件是否真正起到作用，分为带约束规划和无约束规划。

数学规划包括以下几个分支：①线性规划。

研究在线性约束条件下线性目标函数的极值问题，是数学规划的基础。

②非线性规划。

是指在约束条件和目标函数中出现非线性关系的规划。

③整数规划。

规定部分或全部变量为整数的规划。

④组合规划。

讨论在有限集中选择一些子集使目标函数达到最优的问题。

⑤参数规划。

在目标函数和约束条件中带有参数的规划。

⑥随机规划。

指某些变量为随机变量的规划。

⑦动态规划。

是处理多阶段决策的一种方法。

此外还有多目标规划、几何规划、分数规划、模糊规划等。

在这些众多内容中，线性规划是最基本最重要的分支，它在理论上最成熟、方法上最完善、应用上最广泛，其他分支都是线性规划的发展和推广。

[解释]：适用于论证与所有自然数有关的命题的归纳方法。

与所有自然数有关的命题 P ( n )实际上是由无穷多个命题 P (1)， P (2)，…， P ( n )，……所组成，采用逐个论证的方法是不可能完成的。

数学归纳法依据的是自然数的“归纳公理”：假设 M 是自然数集 N 的子集，如果满足①1∈ M 。

②当 k ∈ M 时能推出 k ＋1∈ M ，那么 M ＝ N 。

由归纳公理可以导出数学归纳法原理：设 P ( n )是与所有自然数 n 有关的命题，如果① P (1)是真命题。

②当 P ( k )是真命题时能推出 P ( k ＋1)也是真命题，那么对于任意自然数 n ， P ( n )都是真命题。

数学归纳法的基本形式：对于与所有自然数有关的命题 P ( n )，如果能：①证明命题 P (1)成立。

②假设对于任意自然数 k ， P ( k )成立，证明 P ( k ＋1)也成立。

则能断言命题 P ( n )对所有自然数 n 都成立。

根据自然数集的“最小数原理”(即自然数集的每一个非空的子集必有最小数）可以推得数学归纳法的另一种形式(第二数学归纳法)：对于与所有自然数有关的命题 P ( n )，如果能：①证明命题 P (1)成立。