jt
1 j sgn()
t
例3 求t的频谱函数
解 (t) j
jt 2 () 2 ()
t j2 () 例9
例4 求Sa(t)的频谱函数
解
g
(t )
Sa(
2
)
Sa(t
2
)
2g
()
2g
()
2Sa(t) 2g2 ()
Sa(t) g2 ()
Sa(t)
1
g2 ()
2 0 2
t
10 1
四．尺度变换性质
若f t为偶函数 则F jt 2πf
证明：
f (t ) 1 F ( j )e jt d
2
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
f () 1 F ( jt)e jtdt 2f () F( jt)e jtdt
2
F jt 2πf
若f (t) F( j) 则F jt 2πf
幅度频谱无变化，只影响相位频谱。
时移加尺度变换
相移t0
右 左
t0 t0
若f (t) F( j)
则f at b
1
F
j
e
j
b a
a a
例5 已知f (t) F( j),
则f (1 2t)
f (1 2t)
f (1 2t)
f (1 2t)
1
F
j
e
j
2
2 2
1
F
j
e
j
2
2 2
1
F( j) jG( j) j[Rg () jX g ()] jRg ( ) X g ( )
X () R( ) R() R() X () X () F( j) F( j) ,() ()
F ( j) F *( j)
三．对称性
1．性质 若f (t) F( j) 则F jt 2πf
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
主要内容
• 线性 • 奇偶性 • 对称性 • 尺度变换 • 时移特性和频移特性 • 卷积定理 • 微分和积分特性 • 能量谱与功率谱
一．线性性质
若f1(t) F1( j) , f2(t) F2( j)
则a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j) a2F2 ( j)
F
j
e
j
2
2 2
1
F
j
e
j
2
2), 求f1(t)、f2 (t)的傅里叶变换。
f (t)
f1(t)
f2 (t)
1
1
1
1 0 1 t 2
0
2 t 1 0 1 t
1
1
解 f (t) g2 (t) 2Sa()
f1(t) f (t 1) f (t 1)
0
F( j)是的实、偶函数.
若f(t)为t的实、奇函数，即 f (t) f (t)
F( j) j f (t)sin( t)dt j2 f (t)sin( t)dt jX ()
0
F( j)是的虚、奇函数.
2. 若f ( t ) F( j )，则f ( t ) F( j )
证明：由定义 F f ( t ) f ( t )e j t d t F( j )
复习
F( j) f (t)e jtdt f (t) 1 F ( j)e jtd
2
g
(t)
Sa
2
sgn( t) 2
j
e t (t) 1 , 0 j
(t) 1
E 2π E
(t) j
§4.5 傅里叶变换的性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
F ( j ) F ( j ) ,( ) ( )
F( j) R2 () X 2 ()
() arctan X () R()
F( j ) f ( t )cost dt j f ( t ) sint dt
若f(t)为t的实、偶函数，即 f (t) f (t)
F( j) f (t) cos( t)dt 2 f (t) cos( t)dt R()
F1
j
2Sa()(e j e j4Sa() sin( )
j ) j4
若f ( t
) F(
j
),则f at
1 a
F
j ,a为非零常数
a
证明 板书
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
( 3 ) a 1 f t F j F j
时域倒置，频域反相
next
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
back
f t
增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时 为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以 展宽频带为代价。
五．时移特性
若f (t) F( j), 则f (t t0 ) F( j)e jt0
证明 板书
若F( j) F( j) ej() , 则f (t t0 ) F( j) ej() t0
E
F
E
o t
2
2
f t 2
E
o
t
2π o 2π
2E 2F 2
π π
o
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
（2）a>1 时域压缩，频域扩展。
back
f 2t
E
o
t
44
1 F
2 2
E
2
4π
o
4π
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量
可以得到
F f ( t ) f ( t )e j t d t u t f ( u )e j( ) u d u F ( j )
f(t)为实函数: F( j) F *( j)
若实函数 f ( t ) F( j )，则f ( t ) F( j )
3、f(t) = jg(t)是虚函数
2．意义 若F( jt)形状与F( j)相同 t 则F( jt)的频谱函数形状与 f t形状相同t ,
幅度差2π。
例1 求直流信号1的傅里叶变换
解 t 1
1 2π 1 2π
f (t)
1
0t
F j
2
0
例2 求1/t的频谱函数
解
sgn( t) 2
j
2 2 sgn( ) 2 sgn( )
a1, a2为常数
例： t 1 1 sgnt 22 F π 1 j
二．奇偶虚实性
1. 当f(t)是实函数
F( j ) f ( t )cost dt j f ( t ) sint dt
R( )
X ()
R( ) R( )
X ( ) X ( )
F ( j) F *( j)