最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、 P2的直线段参数方程可表示为：
p(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1];
圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在
第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示
为： y 1 x2
(0 x 1)
其参数形式可表示为：
p(t)
1 t 2 1 t 2
,
1
2t t
t [0,1]
x(t )
p(t)
y(t)
tn
z(t )
t
an
1 aa10
bn
b1 b0
cn
T C
c1 c0
t[0,1]
5.1.5 三次Hermite样条
给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多
项式曲线：
x(t) y(t)
axt ayt
3 3
bxt byt
2 2
5.1.1 曲线曲面的参数表示
曲线和曲面的表示分为参数表示和非参数表示 两种，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。
显式表示一般形式是：y=f（x）。 隐式表示:f(x,y)=0 .
非参数方程的缺点是：与坐标轴相关；会出现 斜率为无穷大的情形（如垂线）；对于非平面 曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表 示；不便于计算机编程。
曲线曲面的参数表示
参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等 优点，计算机图形学中通常用参数形式描 述曲线、曲面。
曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的
函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一 点P可表示为： p(t)=[x(t), y(t)] 空间曲线上任一三维点P可表示为： p(t)=[x(t), y(t), z(t)]
第5章 曲线和曲面
几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物 体模型形状的技术。在航空航天、汽车、造船、机械、 建筑和电子等行业得到了广泛的应用。
拟合曲线可分为两种类型：曲线过所有的给定型值 点(插值放样)；另一种曲线是，并不一定通过给定的型 值点，而只是比较好地接近这些点(逼近）。这类曲线 （或曲面）比较适合于外形设计。
工业产品的几何形状：
初等解析曲面 复杂方式自由变化的曲线曲面
曲线曲面数学描述的发展
弗格森双三次曲面片, 孔斯双三次曲面片 样条方法, Bezier方法, B样条方法 有理Bezier, 非均匀有理B样条方法
5.1曲线曲面基础
曲线曲面的表示要求 1.唯一性 2.几何不变性 3.易于定界 4.统一性 5.易于实现光滑连接 6.几何直观
曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，Cn连续 包含在Gn连续之中。
1.参数连续性
0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的几
何位置连接，即
p(1) Q(0)
0阶参数连续性
图5-3:0阶参数连续性
1阶参数连续性
记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在 相交点处有相同的一阶导数：
p (1) Q(0)
在计算机图形学中，样条曲线是指由多 项式曲线段连接而成的曲线，在每段边 界处满足特定的连续性条件。
样条曲面则是由两组正交的样条曲线来 描述。
n次样条参数多项式曲线
x(t)
y(t)
antn bnt n
a2t b2t
2 2
a1t1 b1t1
a0 b0
z(t)
cnt
n
c2t
2
c1t1
c0
5.1.3 连续性
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t) t [t i0 , ti1 ]
•连续性:曲线段之间如何实现光滑连接的问题 •参数连续性:函数的可微性，把组合参数曲线构造
成在连接处具有直到n阶连续，即n阶连续可微，这 类光滑度称之为Cn或n阶参数连续性
几何连续性
组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束 条件，称为具有n阶几何连续性，简记为Gn。
出来
5.1.2 插值与逼近
1．插值
给定一组有序的数据点Pi(i=0, 1, …, n)，
构造一条曲线顺序通过这些数据点，称 为对这些数值
2.逼近
当型值点较多时，构造插值函数通过所有型值 点是相当困难的。而测量所得的数据点本身比 较粗糙，使得构造精确的插值函数也是没有意 义的。
cxt cyt
dx dy
z(t)
azt
3
bzt
2
czt
d
z
t [0,1]
方程组中12个系数唯一地确定了一条3次参数曲线的位
置与形状。上述代数式写成矢量式是：
P(t) at3 bt 2 ct d
t [0,1]
描述参数曲线的条件有：
端点位置矢量、端点切线矢量、曲率等。对三
次参数曲线，用其端点矢量P(0),P(1). 端点切线矢量P’(0),P’(1)描述. 则由上式得：
1阶参数连续性
图5-4:1阶参数连续性
2阶参数连续性
记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交 点处具有相同的一阶和二阶导数。
Q(0) 2 P(1) P(1)
为任意常数。当 1, 0时，
G2连续就成为C2连续。
5.1.4 样条描述
样条（spline）是指通过一组给定点集来 生成平滑曲线的柔性带。
2
t[0,1]
参数表示方法的优点：
1．点动成线 2．选取具有几何不变性的参数曲线曲面表
示形式。 3．斜率
dy m dy / dt n dy / dt dx m dx / dt n dx / dt
4．t∈[0,1] ，使其相应的几何分量是有界的 5．可对参数方程直接进行仿射和投影变换 6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示
这时通常选择一个次数较低的函数，构造一条 曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点， 称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为 逼近曲线。插值和逼近则统称为拟合。
逼近的方法最常用的是最小二乘法
曲线的插值
图5-1 曲线的插值
曲线的逼近
图5-2 曲线的逼近
将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制 多边形或特征多边形
则三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：
a 2 p0 2 p1 p'0 p'1
b c
3 p0 p'0
3 p1
2 p'0 p'1
d p0
将这些系数代回到原曲线方程,则曲线方程可 表示为：
p(t) (2t3 3t 2 1) p0 (2t3 3t 2 ) p1 (t3 2t 2 t) p'0 (t3 t 2 ) p'1 t[0,1]