F>Fcr
压杆在轴向压力F作用 下处于直线的平衡状态。
当干扰力撤消后杆件仍能恢 复到原来的直线平衡状态 2. 不稳定平衡 3. 临界力
F1
F a)
F<Fcr b)
F>Fcr c)
使压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时 的轴向压力称为临界力，用Fcr表示。
其他形式的工程构件的失稳问题 (1) 狭长矩形截面梁在横向 力超过一定数值时，会突 然发生侧向弯曲和扭转。
（1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l .
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I x 应取最小的形心主惯性矩. y 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. z 若杆端在各个方向的约束情况不同（如 柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳 时的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩. 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力.
第十章 压杆的稳定性问题
§10-1 压杆稳定性的基本概念 §10-2 细长压杆的临界载荷-欧拉临界力 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 长细比的概念 压杆稳定性计算 压杆稳定性计算示例 结论与讨论
10.1
10.1.1
1. 稳定平衡
压杆稳定的基本概念
F
F<Fcr
平衡状态的稳定性和不稳定性
EIw M ( x ) Fw（a)
''
F M(x)=-Fw
令 得
F 2 k EI
m
y
m x
B
w k w0
'' 2
(b)
(b)式的通解为
w A sin kx B cos kx
(c) （A、B为积分常数）
边界条件
x 0, x l,
由公式(c)
w0 w0
x
F
A sin 0 B cos 0 0 B 0 A sin kl 0
细长杆的临界载荷—欧拉临界力
两端铰支的细长压杆
临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。 从挠曲线入手，求临界力。
x
F
F
l y m w B m M(x) = - Fw x
x
y
mB
m
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩 M ( x ) Fw 杆的挠曲线近似微分方程
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr (0.5l )2 π 2 EI Fcr ( 2l )2
欧拉公式 的统一形式
π 2 EI Fcr ( l )2
（ 为压杆的长度因数）
π 2 EI Fcr ( l )2
5.讨论
为长度因数 l 为相当长度
l
i
——压杆的柔度（长细比）
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i
I A
——惯性半径
2 I z A iz , 2 I y A iy .
cr
压杆容易失稳
10.3.2
三类不同压杆的区分
压杆的分类 （1）大柔度杆
P
π EI Fcr 2 ( l )
2
（2）中柔度杆
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临 界力的计算公式（欧拉公式）。 挠曲线方程为y NhomakorabeaF
l
m w B x
m
kl sin 2 πx 当 kl π 时， w sin 挠曲线为半波正弦曲线. l
w

sin kx
10.2.2 其它刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支
一端 自由 一端 固定
欧拉公式
π EI Fcr ( l )2
2
l—相当长度
—长度因数
表10-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
临界力的欧拉公式
长度因数
π 2 EI Fcr (0.7 l )2
π 2 EI Fcr 2 l
讨论：
若
l
m w y B x
A0 sin kl 0
m
A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ( n 0,1,2,)
F k EI
2
kl nπ( n 0,1,2,)
x
n2 π 2 EI F ( n 0,1,2,) 2 l 2 EI 令 n = 1, 得 Fcr l2
然后取小的一个作为压杆的临界压力.
10-3 断
长细比的概念
三类不同压杆的判
10.3.1 长细比的定义域概念
cr
2 2 2 E E E EI Fcr 2 2 i 2 2 l ( l ) A ( l ) A ( )2 i ——临界应力的欧拉公式
2

a) F
(2)承受外压的薄壁圆筒当 外压达到一定数值时，会 突然失稳变成椭圆形 。
b)
q
第十章 压杆稳定
稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。 失 稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下 的变化或破坏过程。 小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
10.1.2
临界状态与临界荷载
受压杆 满足强度要求，即
max []

不产生破坏，安全 产生突然的横向弯曲 而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳 工作最大值 < 临界值
10.1.3
三种类型压杆的不同临界状态
10.2
10.2.1
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr Fcr
l
Fcr
Fcr
l/4 2l l/2 l/4 l l
l
0.7l
l
0.3l
2 EI Fcr 2 l
Fcr
EI ( 2l ) 2
2
2 EI Fcr (l / 2) 2
2 EI Fcr (0.7l )2
S P
σcr a b
（3）小柔度杆
σcr σs
S
10.3.3 三类压杆的临界应力公式 临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力
Fcr 2 EI 2E cr 2 A ( l ) A ( l / i) 2
式中， i I / A 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。 l 引入符号 i λ称为压杆的柔度