高考复习专题之:概率与统计一、概率:随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.1.随机事件A 的概率0()1P A ≤≤,其中当()1P A =时称为必然事件;当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0; 注:求随机概率的三种方法: (一)枚举法例1如图1所示,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c ,d ,e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路形成通路的概率是 .分析:要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可。
解:闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有10种,分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ,其中能形成通路的有6种,所以p(通路)=106=53评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. (二)树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负,其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明出虎牌,则小刚胜;又如,两人同时出象牌,则两人平局.如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用A 1、B 1、C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。
解:画树状图如图树状图。
由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种.所以P (一次出牌小刚胜小明)=31点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 (三)列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数.请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成的两位数是6的倍数的概率.分析:本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数是6的倍数的可能情况。
解:列的表格如下:根据表格可得两位数有:23,24,32,34,42,43.所以(1)两位数是偶数的概率为23.(2)两位数是6的倍数的概率为13.点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 2.等可能事件的概率(古典概率): P(A)=nm。
3、互斥事件:(A 、B 互斥,即事件A 、B 不可能同时发生)。
计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B)。
4、对立事件:(A 、B 对立,即事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一个发生)。
计算公式是:P (A )+ P(B)=1;P(A )=1-P(A);5、独立事件:(事件A 、B 的发生相互独立,互不影响)P(A •B)=P(A) • P(B) 。
提醒:(1)如果事件A 、B 独立,那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件;(2)如果事件A 、B 相互独立,那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1-P (A ⋅B )=1-P(A)P(B);(3)如果事件A 、B 相互独立,那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1-P (A ⋅B )=1-P(A )P(B )。
6、独立事件重复试验:事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了.....k 次.的概率()(1)kkn kn n P k C p p -=-(是二项展开式[(1)]n p p -+的第k+1项),其中p 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。
提醒:(1)探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质。
在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理,把所求的事件:转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识);转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率;看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率,但要注意公式的使用条件。
(2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件;(3)概率问题的解题规范:①先设事件A=“…”, B=“…”;②列式计算;③作答。
二、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a ,b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,)(x f 是连续函数或单调函数,则)(ξf 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为: ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. ξ1x 2x … i x…P1p 2p … i p …有性质:① ,2,1,01=≥i p ; ②121=++++ i p p p .注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:]5,0[∈ξ即ξ可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是:kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B (n ·p ),其中n ,p 为参数,并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布,实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.4. 几何分布:“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ,事A 不发生记为q )P(A ,A k k =,那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式:))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.ξ1 2 3… k… Pqqpp q 2…p q 1k -…我们称ξ服从几何分布,并记p q p)g(k,1k -=,其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布:一批产品共有N 件,其中有M (M <N )件次品,今抽取)N n n(1≤≤件,则其中的次品数ξ是一离散型随机变量,分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件,从N-M 件正品中取n-k 件的取法数,如果规定m <r 时0C rm =,则k 的范围可以写为k=0,1,…,n.〕⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取n 件(1≤n ≤a+b ),则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取n 件时,其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数η的分布列可如下求得:把b a +个产品编号,则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果,等可能:k)(η=含kn kk nba C -个结果,故n ,0,1,2,k ,)b a a (1)b a a (C b)(a ba C k)P (ηkn k k n nkn k k n =+-+=+==--,即η~)(ba a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置,共k n C 种选法;然后每个次品位置有a 种选法,每个正品位置有b 种选法] 可以证明:当产品总数很大而抽取个数不多时,k)P(ηk)P(ξ=≈=,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.三、数学期望与方差.1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ1x 2x … i x … P1p2p…i p…则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望:b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时,b b E =)(,即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时,b E b E +=+ξξ)(,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当0=b 时,ξξaE a E =)(,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布:c c E =⨯=1ξ其分布列为:c P ==)1(ξ.⑶两点分布:p p q E =⨯+⨯=10ξ,其分布列为:(p + q = 1) ⑷二项分布:∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ~),(p n B .(P 为发生ξ的概率)⑸几何分布:pE 1=ξ 其分布列为ξ~),(p k q .(P 为发生ξ的概率) 3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时,则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ,故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度.ξD 越小,稳定性越高,波..........动越小..... 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.(a 、b 均为常数) ⑵单点分布:0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ ⑶两点分布:pq D =ξ 其分布列为:(p + q = 1) ⑷二项分布:npq D =ξ ⑸几何分布:2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在,则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量,则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化:22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-(因为ξE 为一常数)0=-=ξξE E . 四、正态分布.(基本不列入考试范围)ξ0 1 P qpξ 0 1 Pqp1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量ξ,位于x 轴上方,ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为 图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数,由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件,故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线:如果随机变量ξ的概率密度为:222)(21)(σμσπ--=x ex f . (σμ,,R x ∈为常数,且0 σ),称ξ服从参数为σμ,的正态分布,用ξ~),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ,它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差:若ξ~),(2σμN ,则ξ的期望与方差分别为:2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方,与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点,当x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x <μ时,曲线上升;当x >μ时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布:如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ,则称ξ服从标准正态分布. 即ξ~)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ,)(1)(x x --=ϕϕ求出,而P (a <ξ≤b )的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意:当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时,有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时,有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0( =-Φσμ则σμ-5.0必然小于0,如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若ξ~),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示,且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.▲yxaby=f (x )▲xya标准正态分布曲线S 阴=0.5S a =0.5+SS4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断:如果)3,3(σμσμ+-∈a ,接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用:若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7% 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).。