则称c为f ( X )的m重根。当m 1时称c为单根。
3
定理3：域F上的n次多项式f (X )在F中
最多有n个根 (重根按重数计入).
Proof : 设a1为f ( X )的根, 则由零点定理 f1( X ) 使 f ( X ) ( X a1) f1( X ) 再若a2是根a1 a2 则 f ( X ) ( X a1)( X a2 ) f2 ( X )
x

1 2
1 4
x2

1 4

1 4
x3

1 4
x2

1 2
x

1 2
r2


1 4
x

1 4


1 4
(
x

1)
r1 x2 1
(x 1)(x 1)
( f , g) (x 1) 4r2(x)
11
f gq1 r1,
g r1q2 r2.
r2 g r1q2 g ( f gq1)q2. q2 f (1 q1q2 ) g.
rs rs2 rs1qs (rs4 rs3qs2 ) (rs3 rs2qs1)qs f 与 g的线性组合。
定理2：设f , g F[ X ], 则( f , g) d ( X )存在 且唯一,而且存在u, v F[ X ], 使
uf vg d Bezout等式.
=(x-1)(x+2) 所以 ( f, g ) = r2(x) = x -1
f gq1 r1,
g r1q2 r2.
r2 g r1q2 g ( f gq1)q2.
q2 f (1 q1q2 ) g.
8
rs2 rs1qs rs , deg rs deg rs1
9
exp1
设
f
(x)

1 4
x4

1 4
x2

1 2
,
g(x)

1 4
x3

1 4
x2

1 2
x
1 2
,
则其首一最大公因式
( f (x), g(x)) ________.
且有u(x) _____，v(x) _____使得 u(x) f (x) v(x)g(x) ( f (x), g(x)).
证：令h( X ) f ( X ) g( X ). 则 c1, ,cn是h( X )的不同的零点,h( X ) 0.
5
§1- 3 最大公因子与辗转相除法
定义1；设 f , g F[ X ] 1)若h( X ) F[ X ] 满足 h f , h g
则称h( X )为f ( X )与g( X )的公因式。
又（u(x)，v(x)） _______ .
10
g(x)
f (x)
q2
1 4
x3

1 4
x2

1 2
Hale Waihona Puke x1 21 4
x4

1 4
x2

1 2
q1
1 4
x

1 4
1 4
x3

1 4
x
1 4
x4

1 4
x3

1 2
x2

1 2
x
x 1
1 4
x2

1 4
x

1 2

1 4
x3

3 4
x2

1 2
故( f , g) (r, g); 同理(r, g) ( f , g).
f gq1 r1, deg r1 deg g g r1q2 r2 , deg r2 deg r1 r1 r2q3 r3 ,
rs2 rs1qs rs deg rs deg rs1 rs1 rs qs1 ( f , g) (g, r1) (rs1, rs ) crs 7
继续
f ( X ) ( X a1)( X am ) fm ( X )

(X
a1)n1 ( X
am )nm
f
m
(
X
)
m
两边次数相等, ni n.
i 1
4
推论：设f ( X ) F[ X ], deg f ( X ) n, 如果f ( X )在F中有 n个不同的根, 则 f ( X ) 0. 定理4：设 f (X ), g(X ) F[X ], deg f ,deg g n. 若在 n 个不同的点 c1, ,cn 上, f (ci ) g(ci ) 则 f (X ) g(X ).
g(X)
q2(X) =x+1
x3+ 2x2 -3 x3 + x2 -2x
x2 +2x -3 x2 + x -2
f(X) x4+ x3- x2- 2x+ 1 x4+2 x3 - 3x
- x3 - x2 +x + 1 - x3 - 2x2 + 3
q1(X) = x-1
r2(x)= x -1 r1(x)= x2 +x -2
也称c为f ( X ) 0的解或根。
2
定理2：i)余数定理 f ( X ) ( X c)q( X ) f (c). ii)零点定理 f (c) 0 ( X c) f ( X ).
c为f ( X )的根 f ( X ) ( X c)q( X )。
设f ( X ) ( X c)m g( X ),(g( X ) F ( X ),c F, g(c) 0, m 1)
2)若d ( X ) F[ X ] 是 f 和 g的公因式, 且是 f 和 g的任一公因式的倍， 则称d ( X )为f ( X )与g( X )的最大公因式.
f 与 g的首一最大公因式记为 ( f , g).
6
引理1：若 f gq r, 则( f , g) (r, g). proof :由( f , g) f , ( f , g)f g, g,,知 r (Ff[,Xg]) r,
( f , g) (x 1) 4r2(x)
4q2 f 4(1 q1q2 )g
u(x) 4q2 x 1;
第二讲
带余除法与整除性; 最大公因子, 辗转相除法
1
GA02
§1- 2带余除法与整除性
定义4：i）设f ( X ) an X n a1X a0, c F, 则f (c) ancn a1c a0, 称为f ( X )在c点的值。
ii)若f (c) 0, 称c为f ( X )在F中的根或零点，