长方体的再认识知识精要一、长方体的再认识1、长方体的特征。

（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱。

（2）长方体的每个面都是长方形。

（3）长方体的12条棱可以分为三组，每组中四条棱的长度都相等。

（4）长方体的6个面可分为3组，每组中相对的两个面的形状和大小均相同。

2、长方体的直观图画法长方体的直观图有多种画法，通常我们采用斜二侧画法： 水平放置的长方体直观图通常的画法的基本步骤：(4)(3)(2)(1)GHFCGHFCGHFCCDDDEEE3、长方体棱与棱的位置关系二、长方体中棱与平面的位置关系1、直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面⊥,读作：直线PQ 垂直于平面ABCD 。

2、检验直线与平面垂直的方法：（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直； （2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直； （3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；3、直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面//,读作：直线PQ 平行于平面ABCD 。

4、检验直线与平面平行的方法：（1） 铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。

如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。

（2） 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。

三、长方体中平面与平面的位置关系1、平面α垂直于平面β，记作：βα平面平面⊥,读作：平面α垂直于平面β。

2、检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线法，（2）三角尺法；（3） 合页型折纸法。

3、平面α平行于平面β，记作：βα平面平面//,读作：平面α平行于平面β。

4、检验平面与平面平行的方法：长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。

四、长方体中的棱与棱，棱与平面，面与面的位置关系：1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；4、长方体中与某条棱平行的面有2个；5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；6、长方体中与某个面平行的棱有4条；7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。

热身练习一．选择题1、在长方体中，与一条棱垂直的平面有（ B ）．(A) 1个； (B )2个 ； (C) 3个； (D) 4个． 2、在长方体中，与一个平面垂直的棱有（ D ）． （A ）1个； (B)2个; (C)3个； (D)4个. 3．以下说法中正确的个数是 （ C ）． （1）水平面是平面，但平面不一定是水平面； （2）凡与铅垂线重合的直线一定垂直于平面； （3）直立于桌面上的合页型折纸的折痕必垂直于桌面； （4）如果长方体的两条棱没有公共点，那么它们一定平行．(A)1个； (B)2个； (C)3个； (D)4个． 5．下面哪个不是检验直线与平面垂直的工具（ B ）．(A)铅垂线； (B)长方形纸片； (C)三角尺； (D)合页型折纸． 6．长方体中，相邻的两个平面 （ A ）．(A)有垂直关系； (B)有平行关系； (C)可能垂直也可能平行； (D)无法确定． 7 . 铅垂线可以用来检验（ D ）（A ）直线与平面垂直； （B ）直线与平面平行； （C ）平面与水平面垂直； （D ）平面与平面垂直． 二、填空1、如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地平面垂直，应该用什么方法检验：___铅垂线法_____。

第1题 第2-5题 第6题2、如图，长方体中，与面CDD 1C 1垂直的棱有__11D A __11C B AD BC _____.3、如图，长方体中，与面BCC 1B 1垂直的面有___AB__ 11B A 11D C4、如图，在长方体中，与面CDD 1C 1平行的棱有___AB__ 11B A 1AA 1BB __.5、如图，沿长方形ABCD 的对角线BD 与长方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1将长方体截成相等的两部分，截面BDD 1B 1，是一个__长方____形，与它平行的棱有____1AA ___1CC ___.6、如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD 上，那么折痕MN 与平面ABCD 的关系是 垂直关系 ．7、三个边长为4厘米的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了 64 平方厘米 8、如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD 上， 那么折痕MN 与平面ABCD 的关系是 垂直9、如图，它是一个正方体六个面的展开图， 那么原正方体中与平面B 互相平行的平面 是______D______．（用图中字母表示）三、简答题1、一个长方体的六个面都是长方形，其中三个长方形的面积之比是5:7:2，最大的面积比最小的面积大2cm 60，求这个长方体的表面积。

解：这个长方体的表面积是3362cm 。

2、经过长方体某个顶点的两条棱长分别是3厘米、4厘米，与长为3厘米的棱垂直的面的面积是20平方厘米。

求这个长方体的体积。

解：1203cm3、补画长方体（虚线表示被遮住的线段；只要在已有图形基础上画出长方体，不必写画法）。

ABC DE F精解名题例1、如图，将一个横截面是正方形（面BCGF ）的长方体木料，沿平面AEGC 分割成大小相同的两块，表面积增加了30平方厘米.已知EG 长5厘米，分割后每块木料的体积是18立方厘米.求原来这块长方体木料的表面积是多少？ 解：这块长方体的木料的表面积是662cm例2、写出下列等式的含义：3 +4 + 4 = 11：长方体中与一条棱 平行、相交、异面棱的个数总和 ； 2 + 2 = 4 ：长方体中与一条棱 垂直的面、平行的面的个数总和 ；4 + 4 + 4 = 12 ：长方体中与一个面 垂直的棱、垂直的平面、平行的棱的个数总和 ；GFEAH D BC例3、把两个完全一样的长方体木块拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个小长方体的表面积之和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。

如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 解：5523cm例4、六个棱长为10cm 的正方体叠在一起，称为一个长方体，求这个长方体的表面积。

解：这个长方体的表面积是26002cm ，或22002cm 。

备选例题例1、如图，是由棱长为1的小正方体构成，其小正方体的个数为 95 个。

巩固练习1、长方体中，一个面与____D_____个面垂直。

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2、长方体中相邻的两个面（ A ）(A) 有垂直关系 (B) 有平行关系 (C) 可能垂直也可能平行 (D) 无法确定 3、铅垂线可以用来检验（ D ）(A) 任意两个平面是否垂直 (B)两个平面是否平行 (C) 平面是否与水平面平行 (Ｄ)平面是否与水平面垂直 4、长方体中互相垂直的面共有（ C ）(A) 4对 (B) 8对 (C) 12对 (D) 24对 5、长方体中互相平行的面有（ A ）(A) 3对 (B) 6对 (C) 9对 (D) 12对6、4个边长为1cm 的正方体，拼成一个长方体，表面积减少了__32cm 或42cm __。

7、如图，对长方体如图所示那样截去一角后余下的几何体有____7_____个顶点，____12___条棱，_____7___个面.第7题 第8题 第9题8、如图所示，长方体截去两个角的几何体，剩下有 14 个顶点, 14 条棱, 7 个面.9、如图是长方体的六面展开图，在原来长方体中，与平面B垂直的面有_A _E__C__F_。

10、把骰子看作是一个各面上标有1至6六个点数的正方体，已知互相平行的面的点数之和相等，那么与标有点数3的面垂直的面所标的点数之和是 1411、如图长方体ABCD-EFGH中，从点A出发的三条棱AB、AD、AE、的长度之比为3:4:2，该长方体的棱长总和为72厘米。

求：（1）与平面HDCG平行的面的面积；（2）与平面HDCG垂直的棱的总长。

cm（2）32cm解：（1）24212、将骰子看作一个正方体，点数1的对面是6，点数5的对面是2，点数4的对面是3。

（1）与点数2的面垂直的面的点数分别是多少？（2）与点数是1垂直的面的点数之和是多少？解：（1)1、6、3、4（2）1413、把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？cm解：68214、在一个长、宽、高分别是7厘米、5厘米、4厘米的长方体中，挖去一个底面是边长为2厘米的正方形的长方体（如图所示），现要在这个物体的表面涂上颜色，求涂色部分的面积。

cm解：402自我检测1、判断题①水平面是平面，但平面不一定是水平面；（√）②在同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；（ⅹ）③如果长方体的两条棱没有公共点，那么它们一定平行。

（ⅹ）④检验细棒与墙面是否垂直，只要把三角尺的一条直角边紧贴墙面，如果另一条直角边也紧贴细棒，那么细棒垂直于墙面；（ⅹ）⑤可以用三角尺或合页型折纸检验山坡上的小树是否垂直于水平面。

（ⅹ）2、长方体中与一个面垂直的面有（ D ）（A）1个（B）2个（C）3个（D)4个3、对于以下四个关于长方体的描述（1）长方体中相邻两个面互相垂直。

（2）长方体中相对两个面平行。

(3）长方体中每个面都和两个面垂直。

（4）长方体中的每个面都与四条棱平行。

其中正确的有（ C ）（A）1个（B）2个（C）3个（D)4个4、下列说法中正确的是（ B ）（1）长方体中的每个一面都能与四条棱垂直（2）长方体中的每一个面都能与四个面垂直（3）长方体中棱与棱不是相交就是平行（4）长方体中的每一个面都能与四条棱平行（A）（1）、（2）、（3）（B）（1）、（2）、（4）（C）（1）、（3）、（3） (D) （2）、（3）、（4）5、如图所示的长方体中。

（1）垂直于平面ABFE的棱是 AD BC EH FG 。

（2）平行于平面BCGF的棱是 AE HD AD EH 。

（3）垂直于平面ADHE的平面是 EF AB HG CD 。

（4）平行于平面DCGH的平面是 AB EF AE BF 。

（5）垂直于平面ABGH的平面是没有。

（6）平行于平面ABGH 的平面是 没有 。