“探索求一元函数极值和最值方法”的学习报告一、前言函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数形态的重要特征。

因此，通过学习、掌握确定极值点和最值点，并求出极值和最值的方法是十分重要的。

二、学习内容和过程1.探索可能的极值点(1)回顾相关定义、定理a.极值定义：若函数f在点x0的领域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥(≤)f(x)，则称函数f在点x0确取得极大（小）值。

称x0为极大(小)值点。

b.费马定理：设函数f在点x0的某领域内有定义，且在点x0可导。

若点x0为f的极值点，则必有f’ (x0)=0。

且称这样的点为稳定点。

(2)思考并回答下列问题。

进一步分析可能的极值点类型。

a.可导点成为极值点一定是稳定点吗？（是。

通过费马定理可证明）b.函数的不可导点也能称为极值点吗？（能。

例如y=| x|在x=0处取极小值）c.函数的稳定点一定是极值点吗？（不一定。

例如y=x3，x=0为稳定点，但非极值点）d.函数的不可导点一定是极值点吗？（不一定。

例如y=1/x，在x=0处不可导，但不是极值点）e.函数在点x0处不可导，它包含了哪几种情况？（①连续不可导②不连续）f.除此之外，还有没有其他类型的点极值点？（没有）稳定点，例如y=x2，x=0处(3)由上面的问题得到极值点的范围连续不可导，例如y=| x|，x=0处不可导点2x≠0不连续点，例如y=－1 x=02.探索确定极值点的方法由极值点的范围可知极值点分为连续点和间断点。

对于剪短点，只要满足在x0某领域内始终有f(x0)≥f(x)或者f(x0)≤f(x)，至于连续部分函数任意，这样间断点x0就为极大或极小值点，即判断间断点是否为极值点，只需要根据极值定义即可。

下面主要讨论连续点能否成为极值点的判断。

(1)a.考察函数y=x2，y=x3，y=x1/3易知在x=0处连续，在U0(x)可导，且有①y=x2x<0时，f’ (x)<0，函数严格递减x>0时，f’ (x)>0，函数严格递增②y=x3 f’ (x) ≥0函数单调递增仅在x=0时，f’ (x)=0③y=x1/3 f’ (x)>0.函数严格递增且x=0处不可导由y=x2在x=0处连续以及两边领域内的增减性可知y=x2在x=0处取得极小值，而y=x3以及y=x1/3由f(x)的增减性可知在x=0处不取极值。

b.启发得到定理：设f在点x0连续，在某领域U0(x0)内可导则Ⅰ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≤0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≥0，则f在点x0处取得极大值Ⅱ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≥0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≤0，则f在点x0处取得极小值（单调性可以验证）注：由条件在x0连续，在U0(x0)内可导，可知该定理适用于稳定点或连续不可导点。

(2)a.考察函数y=x2，y=-x2易知前者在x=0处取得极小值，后者在x=0处取得极大值，而且二者在x=0处的导数值都为0。

观察二者的二阶导数符号特点。

列表如下：000导数非零。

则有Ⅰ若二阶导数小于零，则f在x0处取得极大值Ⅱ若二阶导数大于零则f在x0处取得极小值（泰勒公式可验证）(3)a.进一步考察f(x)=x3和f(x)=x4等更高阶导数和极值特点，类似(2)方法：若f(n)(x0)=0,考虑f(n+1)(x0)的符号。

b.启发得定理：设f在x0的某领域内存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导，且f(k)(x0)=0(k=1,2,3……n), f(n)(x0) ≠0,Ⅰ当n为偶数时，f在x0处取极值，且f(n)(x0)<0取极大值，f(n)(x0)>0取极小值，Ⅱ当n为奇数时，f在x0不取极值(泰勒公式可验证)e-1/x2x≠0注：该定理为充分条件，例如f(x)= 在x=0处取极小值。

但0x=0因为f(k)(x0)<0无法用该定理。

(4)综上，在确定x0是否为f(x)的极值点时，首先观察，若不连续则用定义判断，若连续，再观察在x0处是否可导，若不可导直接用定理1判断，若可导再计算f’ (x0) ≠0，显然不为极值点，若f’ (x0)=0再按相应定理判断。

3.探索确定区间上连续函数的最值的方法(1)回顾有界闭区间上连续函数的最值性若f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值(2)考察函数f(x)=x2, f(x)=| x|在[-1,2]上的最大值和最小值的分布，以及f(x)=sinx在[0,π]内最大值和最小值的分布。

如下表：(3)得出结论：a.若函数f在(a，b)内取得极大或极小值则相应的极大或极小值中某一个也为f在[a,b]内的最大或最小值b.除极大或极小值可能成为最大或最小值外，端点值也可能最大或最小值(4)求f在闭区间[a,b]内的最值的方法：先求出f在其中的极值，端点值，再比较所求极值，端点值的大小，得到相应的最值。

(5)进一步观察函数f(x)=x2和f(x)=| x|在[-1,2]上极值点的个数。

可以看到二者都只有一个极值点，而这个极值点正好就是最值点(6)得到另一个求最值的特殊方法：当f在区间I上仅有唯一极值点x0时，该点也是f在Ishang 的相应最值点。

三、学习感想通过探索学习，我不仅对求极值、最值的方法有了更全面的更深刻的认识，在学习讨论的过程中，我体会到了积极主动提问、思考、求证的乐趣。

只要常常思考，总会发现新的问题没在解决这些问题的过程中，可能会遇到障碍，这时讨论、请教和不放弃时解决问题的关键。

总之在学习中要善于发现问题，主动思考。

数统学院0912班第8学习小组主笔：邓雪芹成员：杨恒赵燕黎向莹总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。

在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。

简介近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。

类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。

它们对健康的好处有：（ 1 ）抗炎症（ 2 ）抗过敏（ 3 ）抑制细菌（ 4 ）抑制寄生虫（ 5 ）抑制病毒（ 6 ）防治肝病（7 ）防治血管疾病（8 ）防治血管栓塞（9 ）防治心与脑血管疾病（10 ）抗肿瘤（11 ）抗化学毒物等。

天然来源的生物黄酮分子量小，能被人体迅速吸收，能通过血脑屏障，能时入脂肪组织，进而体现出如下功能：消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张毛细血管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。

近年来国内外对茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验，证实类黄酮既是药理因子，又是重要的营养因子为一种新发现的营养素，对人体具有重要的生理保健功效。

目前，很多著名的抗氧化剂和自由基清除剂都是类黄酮。

例如，茶叶提取物和银杏提取物。

葛根总黄酮在国内外研究和应用也已有多年，其防治动脉硬化、治偏瘫、防止大脑萎缩、降血脂、降血压、防治糖尿病、突发性耳聋乃至醒酒等不乏数例较多的临床报告。

从法国松树皮和葡萄籽中提取的总黄酮" 碧萝藏"-- （英文称PYCNOGENOL ）在欧洲以不同的商品名实际行销应用25 年之久，并被美国FDA 认可为食用黄酮类营养保健品，所报告的保健作用相当广泛，内用称之为" 类维生素" 或抗自由基营养素，外用称之为" 皮肤维生素" 。

进一步的研究发现碧萝藏的抗氧化作用比VE 强50 倍，比VC 强20 倍，而且能通过血脑屏障到达脑部，防治中枢神经系统的疾病，尤其对皮肤的保健、年轻化及血管的健康抗炎作用特别显著。

在欧洲碧萝藏已作为保健药物，在美国作为膳食补充品（相当于我国的保健食品），风行一时。

随着对生物总黄酮与人类营养关系研究的深入，不远的将来可能证明黄酮类化合物是人类必需的微营养素或者是必需的食物因子。

性状：片剂。

功能主治与用法用量功能主治：本品具有增加脑血流量及冠脉血流量的作用，可用于缓解高血压症状（颈项强痛）、治疗心绞痛及突发性耳聋，有一定疗效。

用法及用量：口服：每片含总黄酮６０ｍｇ，每次５片，１日３次。

不良反应与注意不良反应和注意：目前,暂没有发现任何不良反应.洛伐他丁【中文名称】：洛伐他丁【英文名称】：Lovastatin【化学名称】：(S)-2-甲基丁酸-(1S,3S,7S,8S,8aR)-1,2,3,7,8,8a-六氢-3,7-二甲基-8-[2-(2R,4R)-4-羟基-6氧代-2-四氢吡喃基]-乙基]-1-萘酯【化学结构式】：洛伐他丁结构式【作用与用途】洛伐他丁胃肠吸收后，很快水解成开环羟酸，为催化胆固醇合成的早期限速酶（HMG －coA还原酶）的竞争性抑制剂。

可降低血浆总胆固醇、低密度脂蛋白和极低密度脂蛋白的胆固醇含量。

亦可中度增加高密度脂蛋白胆固醇和降低血浆甘油三酯。

可有效降低无并发症及良好控制的糖尿病人的高胆固醇血症，包括了胰岛素依赖性及非胰岛素依赖性糖尿病。

【用法用量】口服：一般始服剂量为每日20mg，晚餐时1次顿服，轻度至中度高胆固醇血症的病人，可以从10mg开始服用。

最大量可至每日80mg。

【注意事项】①病人既往有肝脏病史者应慎用本药，活动性肝脏病者禁用。

②副反应多为短暂性的：胃肠胀气、腹泻、便秘、恶心、消化不良、头痛、肌肉疼痛、皮疹、失眠等。

③洛伐他丁与香豆素抗凝剂同时使用时，部分病人凝血酶原时间延长。

使用抗凝剂的病人，洛伐他丁治疗前后均应检查凝血酶原时间，并按使用香豆素抗凝剂时推荐的间期监测。

他汀类药物他汀类药物(statins)是羟甲基戊二酰辅酶A（HMG-CoA）还原酶抑制剂，此类药物通过竞争性抑制内源性胆固醇合成限速酶(HMG-CoA)还原酶，阻断细胞内羟甲戊酸代谢途径，使细胞内胆固醇合成减少，从而反馈性刺激细胞膜表面(主要为肝细胞)低密度脂蛋白(low density lipoprotein，LDL)受体数量和活性增加、使血清胆固醇清除增加、水平降低。

他汀类药物还可抑制肝脏合成载脂蛋白B-100，从而减少富含甘油三酯AV、脂蛋白的合成和分泌。

他汀类药物分为天然化合物(如洛伐他丁、辛伐他汀、普伐他汀、美伐他汀)和完全人工合成化合物(如氟伐他汀、阿托伐他汀、西立伐他汀、罗伐他汀、pitavastatin)是最为经典和有效的降脂药物，广泛应用于高脂血症的治疗。

他汀类药物除具有调节血脂作用外，在急性冠状动脉综合征患者中早期应用能够抑制血管内皮的炎症反应，稳定粥样斑块，改善血管内皮功能。