高中数学-二次函数定区间上最值问题一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．（三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设：f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aa cb a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b am n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。

三、例题分析归类 （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是______，最小值是______。

答案：函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。

2、轴定区间变 例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。

解：函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当x t =时，函数取 得 最小值fx ft t ()()()m i n==-+112。

图1如图2所示，若顶点横坐标在区间[]t t，+1上时，有t t≤≤+11，即01≤≤t。

当x=1时，函数取得最小值f x f()()mi n==11。

图2如图3所示，若顶点横坐标在区间[]t t，+1右侧时，有t+<11，即t<0。

当x t=+1时，函数取得最小值fx ft t()()mi n=+=+112综上讨论，⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=11,11,1)1()(22mintttttxf图33、轴变区间定例4. 已知x21≤，且a-≥20，求函数f x x a x()=++23的最值。

解：由已知有-≤≤≥112x a，，于是函数f x()是定义在区间[]-11，上的二次函数，将f x()配方得：f x xa a()=+⎛⎝⎫⎭⎪+-23422二次函数f x()的对称轴方程是xa=-2顶点坐标为--⎛⎝⎫⎭⎪a a2342，，图象开口向上由a≥2可得xa=-≤-21，显然其顶点横坐标在区间[]-11，的左侧或左端点上。

函数的最小值是f a()-=-14，最大值是f a()14=+。

例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-，当1a 2-<即1a 2>-时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2ax =，应分121≤≤-a，12-<a ，12>a 即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =- （2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2af x f =（3）2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(afaafafy最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2aaaaaay最大4. 轴变区间变例6. 已知24()(0),y a x a a=->，求22(3)u x y=-+的最小值。

解：将24()y a x a=-代入u中，得①，即时，②，即时，所以（二）、逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2()21f x ax ax=++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a的值。

解：2()(1)1,[3,2]f x a x a x=++-∈-（1）若0,()1,a f x==，不符合题意。

（2）若0,a>则max()(2)81f x f a==+由814a+=，得38a=（3）若0a<时，则max()(1)1f x f a=-=-由14a-=，得3a=-综上知38a=或3a=-例8.已知函数2()2xf x x=-+在区间[,]m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

解：讨论对称轴中1与,,2m nm n +的位置关系。

①若，则max min()()3()()3f x f n n f x f m m ==⎧⎨==⎩ 解得②若12m nn +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨==⎩，无解③若12m nm +≤<，则max min ()(1)3()()3f x f n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解 ④若，则max min()()3()()3f x f m n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解综上，4,0m n =-=例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值。

注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

（1）令2a 1f ()32a--=，得1a 2=-此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤-∉-⎢⎥⎣⎦，故12-不合题意； （2）令f (2)3=，得1a 2=此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a 2=符合题意； （3）若3f ()32-=，得2a 3=-此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a 3=-符合题意。

综上，1a 2=或2a 3=-。

【二次函数最值问题课后习题】1、当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．3、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．练习题答案1、解：作出函数的图象．当1x=时，min4y=-，当2x=-时，max5y=．2、作出函数的图象．当1x=时，min1y=-，当2x=时，max5y=-．3、函数21522y x x=--的对称轴为1x=．画出其草图．(1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t>时：当x t=时，2min1522y t t=--；(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t≤≤+⇒≤≤时：当1x=时，2min1511322y=⨯--=-；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t+<⇒<时：当1x t=+时，22min151(1)(1)3222y t t t=+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t ty tt t t⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩。