上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）分）计算：=．1．（42≥4}，则A∩B=|x．A=（4分）已知集合{x|0＜x＜3}，B={x2．3．（4分）已知{a}为等差数列，S为其前n项和．若a+a=18，a=7，则S=．10nn914 11﹣﹣（2）=1x），且）x=log（x+a）的反函数为y=ff，（4．（4分）已知函数f（2则实数a=．22交于，则cos2α+y等5．（4分）已知角α的终边与单位圆x=1．于时，则其输出的结果分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为86．（4．是7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是．22=4相交于A、B两点，且）+（y﹣2）﹣+分）设直线8．（5ax﹣y3=0与圆（x1 2，则a=的长为．弦AB若的面积为△A=90°中，在△5．=，=4，则9（分）ABC∠，ABC1，的最小值为．10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为．分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R11．（5，则下列四个命题中为真命题的是（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．n*），若对任意mN，n∈=2q，+q（q＜0}12．（5分）已知数列{a的通项公式为a nn*都有，则实数q的取值范围为n∈N ．分）205分，共选择题（本大题共二.4题，每题2，为虚数单位，是关于分）若2﹣ix的方程xp+px+q=0的一个根（其中i13．（5）Rq∈），则q的值为（3．﹣A．﹣5 B．5C3 D．14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x+x=0”是“f（x）﹣f（x）=0”的2211（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件使成立，则实数m的取值范围是（∈[0，+∞））15．（5分）若存在x C．（﹣∞，﹣1，+∞）] D．[1，+∞）1 ．A（﹣∞，1）B．（﹣22=4y：λx恰好有两个不同的公共+x=2分）已知曲线5C：|y|﹣与曲线C16．（21点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1] C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，∞）+三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分），=﹣AC=31814分）在△ABC中，AB=6，．17．（边的长；（1）求BC的面积．（2）求△ABC．R），常数a18．（14∈分）已知函数（x≠0（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；若该线路每分钟的净收益为（元）），问当发车时间间隔为（2多少时，该线路每分钟的净收益最大？，其左焦点为b）经过点＞E（16分）已知椭圆0：=1（a＞．20，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；的面积为，ACBD、D两点，若四边形CF（2）过点且与l垂直的直线交椭圆于求直线l的方程；，，求证：λ+λ为定值．（3）设21*），且|a﹣a|=n（1项（{a}共有mm≥2，m∈N1821．（分）已知有穷数列nnn1+*）N．1，n∈n≤≤m﹣（1）若m=5，a=1，a=3，试写出一个满足条件的数列{a}；n51（2）若m=64，a=2，求证：数列{a}为递增数列的充要条件是a=2018；641n（3）若a=0，则a 所有可能的取值共有多少个？请说明理由．m1年上海市松江区高考数学一模试卷2018参考答案与试题解析分）545分，共每题4分，7-12每题题，一.填空题（本大题共121-6（4．分）计算：=1．=【解答】=解：，故答案为：，2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜x{x|0＜x＜3}，B={x|3} ．分）已知集合2．（4A=【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．3．（4分）已知{a}为等差数列，S为其前n项和．若a+a=18，a=7，则S=109n41n100．【解答】解：设等差数列{a}的公差为d，∵a+a=18，a=7，49n1∴，解得d=2，a=1．1=100+．则S=1010．故答案为：10011﹣﹣，）y=fx）分）已知函数4．（4f（x=log（+a）的反函数为2x（），且f=1（2．a=则实数311﹣﹣，y=fax（）（解：函数【解答】fx=log+）的反函数为x（））（f2=1，且2，则：2=解得：a=3．故答案为：3．22交于，则cos2α等于α的终边与单位圆x +y﹣=1．5（4分）已知角．22，【解答】解：∵角α的终边与单位圆x+y交于=1，cosα=，∴可得：r=12．1=α﹣1=2﹣×﹣∴cos2α=2cos．故答案为：﹣时，则其输出的结果分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为846．（．2是【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，1﹣）﹣（=1=2y=0.5013=3=2x=x﹣﹣﹣＜，满足条件，退出循环体，故输出．2故答案为：7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是4．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，sinx=或cosx=0整理得：，，，，[0，2π]范围内，x=所以：在．故答案为：422两点，且B相交于=4与圆（x﹣1）A+（y﹣2）、+8．（5分）设直线ax﹣y3=0．a=弦AB的长为02，则22=4的圆心C（1，2），半径等于1）+（y﹣2）2，且【解答】解：由于圆（x﹣2，AB的长为圆截直线所得的弦3=0的距离为ax﹣y+，即a=0 =1，解得，故圆心到直线=1故答案为0．则若=4=，，的面积为在△9．（5分）ABC中，∠A=90°，△ABC1，．的最小值为【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B（10x，0），C（0，10y），=4，=，若则M（5x，5y），N（2x，8y），由题意△ABC的面积为1，可得50xy=1，22x=2y=时取等号．，当且仅当xy=40y=10x+≥2．故答案为：10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，就是x|2x﹣a|=1，即|2x﹣a|=有三个解，y=，可知y=，画出两个函数的图象，如图：x，令y=|2x，﹣a|x=，x=﹣（舍去），此时切点坐标（=﹣2，，解得），y′=y=，代入y=a，﹣2x可得，=2a=函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．．，（故答案为：2+∞），）的定义域都是Rg（x，已知函数f（x）11．（5、分）定义（写出所有真命题的序号）则下列四个命题中为真命题的是②③④）为奇函数；）g（x（f（x），①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F）为偶函数；）g（xf（x），f②若（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（）为增函数；）（x（x），gF（x）、g（x）都是增函数，则函数（f③若f）为减函数．）（x（x），g）、g（x）都是减函数，则函数F（fx④若f（，【解答】解：y=x）不一定是奇函数，如x）），g（g（x）都是奇函数，则函数F（f（x若f（x）、3，故①是假命题；y=x与）为偶函数，故②是真命x）），g（（x）都是偶函数，则函数F（f（x若f（x）、g 题；）为增函数，故③是真命x），g（）都是增函数，则函数F（f（x）x若f（）、g （x题；）为减函数，故④是真命）g（x（Ff（x），若f（x）、g（x）都是减函数，则函数题．故答案为：②③④．*n，m），n∈N，若对任意a}的通项公式为a=2qq+（q＜012．（5分）已知数列{nn *（﹣，0）Nn∈．都有，则实数q的取值范围为*n*，N，且对任意n∈），因为a=3q＜0=2q【解答】解：由a，+q（q＜0n∈N1n∈（，6）故a＜0，n*2，a≠0n∈N．q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意特别地2q+n2n2n1﹣+q＜q|﹣=|q＞+qq，a2|q，|=时，＜＜当﹣q0a12n2n﹣2+q，最小值为a=2qa}a由指数函数的单调性知，{的最大值为=3q，1n2．由题意，和的最大值及最小值分别为==．0＜q及＜6＜由＞，解得﹣，），综上所述，q0的取值范围为（﹣．），故答案为：0（﹣分）205分，共二.选择题（本大题共4题，每题2，pi为虚数单位，px+q=02﹣i是关于x的方程x的一个根（其中+13．（5分）若）的值为（R），则qq∈3D．5C．﹣3 A．﹣5 B．2的一个根，+xq=0+px【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程2的另一个根，+q=0+px+∴2i是关于x的实系数方程x2．=5﹣i|+i）=|22则q=（﹣i）（2．B故选：的=0”x）f“f（x）﹣（x分）已知f（）是R上的偶函数，则“x+x=0”是14．（52121）（．必要而不充分条件B．充分而不必要条件A．既不充分也不必要条件D．充分必要条件C上的偶函数，Rx）是【解答】解：∵f（，）=0”）﹣f（x“x+x=0”?“f（x∴2112，”或“x=x=0”）?“x+x=0”x“f（）﹣f （x212211的充分而不必要条件．）x=0”x）﹣f（“f∴“x+x=0”是（2112．故选：A ）的取值范围是（使成立，则实数m0若存在．15（5分）x∈[，+∞）∞）+1∞），（﹣B）（﹣∞，A．1 ．1+．1．C（﹣∞，﹣]D[，∞）使成立，0，+【解答】解：存在x∈[xx，＜1?x﹣2?m∴2xx，﹣?m＞21∴2?x，﹣∴m＞xx≥12，0，+∞），∴∵x∈[﹣≥﹣1．∴m＞x∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．22=4y：λx恰好有两个不同的公共+：|y|﹣x=2与曲线C16．（5分）已知曲线C21点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1] C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，∞）+；x=y﹣22【解答】解：由x=|y|﹣可得，y≥0时，，2﹣y＜0时，x=y﹣22，），±2+λx的曲线必相交于（=40|∴函数x=y|﹣2的图象与方程y22恰好有两个不同的公共点，=4+λx与曲线y所以为了使曲线C：||﹣x=2C：y2122，代入方程则将x=y﹣2yλx+=42，4=0﹣﹣4λy+4λλ整理可得（1+）y满足题意，时，﹣1y=2当λ=22恰好有两个不同的公共点，∵曲线C：=4y：x=2﹣与曲线Cλx+||y21是方程的根，2∴△＞0，时，方程两根异号，满足题意；110∴＜，即﹣＜λ＜综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分），=﹣，18AC=3．17．（14分）在△ABC中，AB=6边的长；）求BC（1的面积．）求△ABC（2=【解答】解：（1﹣）18，，AC=3AB=6，由于：222﹣2AB?ACcosA=AB，+所以：BCACBC=3解得：．AC=3BA=6，）在△ABC，中，BC=3，（2﹣，cosA=则：=，所以：sinA=．=则：（x．（14≠分）已知函数0，常数a∈R）．18（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）满足f（﹣x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a＞0时，，）为减函数；，则若x∈（0，a为增函数；，，则+x若∈（a，∞）故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；若该线路每分钟的净收益为（元）），问当发车时间间隔为（2多少时，该线路每分钟的净收益最大？，（t）k=为常数）【解答】解：（1）由题意知，p（2．﹣k（10﹣2）k=2=272，∴=400∵p（2）．∴p=t）（2；610﹣）=3686∴p（）=400﹣2（，可得（2）由Q=，）12t，+时，≤t＜10Q=180﹣（当2时等号成立；当且仅当t=5≤﹣60+90=30，当t=1020当10≤t≤时，Q=﹣60时等号成立．+∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．）经过点，其左焦点为b＞0E：=1（a＞（20．16分）已知椭圆，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；的面积为ACBDDClF2（）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，若四边形，求直线l的方程；，，求证：λ3+）设λ为定值．（212222+3c+1）由题意可得：，c=，则a=b=b（【解答】解：22=4ab，代入椭圆方程：=1，将，解得：的方程：∴椭圆的E；+），A（x，y），B（x，y），C（x，y），则D（x，2（）设直线l：y=k（x1010212，﹣y）12222﹣4=0+12k8k，，整理得：（1+4k）xx联立+=，xx=x﹣，∴x+2121的斜率为﹣，将k转=|AB|，由直线CD==|，化成﹣，同理|CD==CD|，ACBD的面积S=×|AB||∴四边形2242，k=k=±5k+2=0，解得：k±=2，k或=，∴∴2k﹣，k=k=或k由＞0，∴﹣x∴直线AB的方程为y+=0或x﹣y+=0；（﹣﹣x）=λ，）﹣x=λx，得（﹣x，，∴（3）221112，λ，=λ=21+）（==λ+λ﹣﹣21==﹣8，λ+λ为定值，定值为﹣8．21*），且|a﹣a|=n（1}共有m项（m≥2，m∈N1821．（分）已知有穷数列{a n1nn+*）．∈Nm﹣1，nn≤≤（1）若m=5，a=1，a=3，试写出一个满足条件的数列{a}；n51（2）若m=64，a=2，求证：数列{a}为递增数列的充要条件是a=2018；641n（3）若a=0，则a 所有可能的取值共有多少个？请说明理由．m1*），且|a﹣a|2，m∈N=n（1（【解答】解：1）有穷数列{a}共有m项（m≥n1nn+*）N．，n∈≤n≤m﹣1m=5，a=1，a=3，51则满足条件的数列{a}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．n证明：（2）必要性若{a}为递增数列，由题意得：n a﹣a=1，a﹣a=2，…，a﹣a=63，63641232==2016a，∴a﹣164．=2，∴a=2018∵a641充分性*，∈N≤n≤63，n1﹣由题意|aa|=n，n1n+，63，a﹣a≤aaa﹣≤1，a﹣≤2，…∴63136422，a≤2018，∴∴a﹣a≤201664641，∵a=201864*，∈N，≤=n﹣∴aa，1n≤63n n1n+是增数列，}{∴a n．a}a综上，数列{为递增数列的充要条件是=201864n 解：（3）由题意得a﹣a=±1，a﹣a=±2，…，a﹣a=±（m﹣1），1213mm2﹣*，1≤i≤m﹣1i}，（i∈N），，其中，假设a=b+b+b+…+bb∈{﹣i，im2m311﹣﹣=．m ﹣1）=﹣1﹣2﹣…﹣（）则（a minm取负值，，，，，…若a中有k项n+…+），（*+）则有a+=（a）﹣（maxmm∴a的所有可能值与（a）的差必为偶数，maxmm与之间相差可以取到﹣2下面用数学归纳法证明a的所有整数，n由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2到的所有整数值即可，从1当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，*）结论成立，∈N≥3，k②假设m=k（k到1的所﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从2，，3，…，k即从1有整数值，中任取一项或若干项相加，1，k﹣，2，3，…m=k则当+1时，由假设，从1，可中的k，k﹣1，k到取代12，3，…的所有整数值，用可以得到从1，得，可得2k﹣，k﹣1中的…2k用取代1，，，3，全部相加，可得k1，k3，2，，…，，﹣1将故命题成立，=所有可能的取值共有：个．a∴m。