例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各 空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？
x
图3.4-1
分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心 的高，求出版心的宽， 从而列出海报四周的面 积来？
生活中的优化问题举例
一、如何判断函数的单调性？
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数
二、如何求函数的极值与最值？
求函数极值的一般步骤
（1）确定定义域
（2）求导数f’(x)
（3）求f’(x)=0的根 （4）列表 （5）判断
求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤：
解 : 设版心的高为xdm,则版心的宽为128 dm,此时四周空白面积为
S(x) (x 4)(128 2) 128
x
x
你还有其他解
2x 512 8, x 0 x
法吗？例如用 基本不等式行
求导数,得S
令：S ' (x) 2
'(
x)
512
2
0
512 x2
x2
不？
解得：x 16，x 1（6 舍）
16
8
令S 0,得x l 2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值. 最小值为 l 2 .
2
32
课本P373：某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确 定它的高与底半径,使得所用材料最省?
解: 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
h
又V=πR2h(定值),
S
(
R)
2R
V
R 2
2R2
2V R
2R2.
R
由S
( R )
2V R2
4R
0.
解得R 3
V.
2
从而h
V
R 2
23
V
2
即h=2R.
答 :罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。
解决生活中的优化问题的基本步骤
1、建立实际问题的数学模型，写出函数 关系式 y f (x) ；
2、求函数的导数 f (x) ，求出极值点; 3、确定最大（小）值； 4、作答。
作业：课本P37习题1.4 A组1、2
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b） 比较,从而确定函数的最值。
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题通常称 为优化问题.通过前面的学习，我们知道， 导数是求函数最大（小）值的有力工具， 本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.
V
(40)
402
(
60
2
40
)
16000(cm)h3
x
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,
最大值为16000cm3
练习3
要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20cm， 要使其体积最大，则其高为（ ） A
A. 20 3 B. 100 C. 20
3
20
D. 3
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是：
h x
解： 设箱底边长为 x,箱子容积为
V (x) x2 (60 x) (0 x 60)
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个
极大值就是函数V (x)的最大值.
课本P371、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个
正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长 度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2 4
(l
x)2 4
1 16
(2x2
2lx l 2 )
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
2
2
y′=-x+20 令y′=0得,x=20
当0<x<20时,y′>0,当20<x<40时,=200. 答:靠墙的一面长20 m时,围成的场地面积最大,为200 m2.
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个 无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大? 最大容积是多少?
x
x
2 32 8 72
当且仅当2x 512 ,即x 16(x 0)时S取最小值
此时y=
128 16
x
8
答：应使用版心宽为8dm，长为16dm，四周空白面积最小
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。
2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域 内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 ) 即是所求的最大值或最小值.
于是宽为：128 128 8 x 16
当x 0,16时，s' x 0；
当x 16, 时，s' x 0.
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以， 当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最 小。
解法二：由解法(一)得
S(x) 2x 512 8 2 2x • 512 8
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩 形，则这个矩形面积的最大值为多少？
解：设矩形的一边为xcm，则另一边为（6 x）cm，面积为S
S（x） x（ 6 x） 6x x（2 0 x 6) S(x) 6 2x（0 x 6) 令S(x) 0，解得x 3 当S(x) 0时,得0 x 3 S(x)在(0,3)上是单调递增的, S(x)在(3,6)是单调递减的 S(x)在x 3cm处取到最大值S(3) 9cm2 答 :当矩形是正方形时,它的面积最大为9cm2
结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。
变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形
场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,围
成的场地面积最大?
解 : 设靠墙的一面长x m,围成的场地面积为y m2,
此时矩形的宽为 40 x 0. 2
y x 40 x 1 x2 20x.(0 x 40)