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线性代数考试题库及答案(九)

线性代数(经管类)综合试题三
(课程代码 4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.当( D )成立时,阶行列式的值为零.
A.行列式主对角线上的元素全为零
B.行列式中有个元素等于零
C.行列式至少有一个阶子式为零
D.行列式所有阶子式全为零
2.已知均为n阶矩阵,E为单位矩阵,且满足ABC=E,则下列结论必然成立的是( B ).
A.ACB=E
B. BCA=E
C. CBA=E
D. BAC=E
3.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( D ).
A. (AB)-1=A-1B-1
B.(A+B)-1=A-1+B-1
C.(AB)T=A T B T
D.
4.下列矩阵不是初等矩阵的是( B ).
A.
B.
C. D.
5.设是4维向量组,则
(D ).
A.线性无关
B.至少有两个向量成比例
C.只有一个向量能由其余向量线性表示
D.至少有两个向量可由其余向量线性表示
6.设A为m×n矩阵,且m<n,则齐次线性方程组Ax = o必( C ).
A.无解
B.只有唯一零解
C.有非零解
D.不能确定
7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又
是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是(D ).
A. B.
C.
D.
8.如果矩阵A与B满足( D ),则矩阵A与B相似.
A.有相同的行列式
B.有相同的特征多项式
C.有相同的秩
D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同
9.设A是n阶实对称矩阵,则A是正定矩阵的充要条件是 (D ).
A. |A|>0
B. A的每一个元素都大于零
C. D. A的正惯性指数为n
10.设A,B为同阶方阵,且r(A) = r(B),则 ( C ).
A. A与B相似
B. A与B合同
C. A与B等价
D.|A|=|B|
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式24 .
12.设A为三阶矩阵,|A|=-2,将矩阵A按列分块为
,其中
是A的第j列,,则|B|= 6.
13.已知矩阵方程AX=B,其中
A=,
B=,则X=
11 12
-
⎛⎫
⎪-⎝⎭
.
14.已知向量组的秩为2,则k =-2 .
15.向量的长度
16.向量在基
下的坐标为(3,-4,3) .
17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系,则矩阵A的秩r(A)= 1 .
18.设是三阶矩阵A的特征值,则a = 1 .
19.若是正定二次型,则
λ>.
满足5
20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.设三阶矩阵A=,E为三阶单位矩阵.
求:(1)矩阵A-2E及|A-2E|;(2).
解:(1) A-2E=
300200100 110020110 123002121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
-=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
| A-2E |= -1;
(2)
100100100100 110010010110 121001021101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
100100010110001121⎛⎫
⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭
1100(2)110121-⎛⎫
⎪∴-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A E . 22.已知向量组
求:(1)向量组的秩; (2)向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解:(1)将所给向量按列构成矩阵A ,然后实施初等行变换:
121012101202240400240012243200120000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 所以,向量组的秩1234(,,,)2r =αααα;
(2)向量组的一个极大无关组为:13,αα,
且有214132,22==-ααααα.
23.讨论a 为何值时,线性方
程组
有解?当方程组有解时,求出方
程组的通解.
解:对方程组的增广矩阵实施初等行变换:
1222201111111311151a -⎛⎫ ⎪
-- ⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭A 122220*********
03333a -⎛⎫

-- ⎪→ ⎪
-- ⎪--⎝⎭
12222011110000100000a -⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭100400
11110
000100000a ⎛⎫

-- ⎪→
⎪- ⎪⎝⎭
. 若方程组有解,则()()2r r ==A A ,从而a =1.
当a =1时,原方程组的通解方程组为:
14234
41x x x x x =-⎧⎨=++⎩,34,x x 为自由未知量.
令340x x ==,得原方程组的一个特解:(0, 1, 0, 0)T .
导出组的同解方程组为:14234
4x x x x x =-⎧⎨=+⎩,34,x x 为自由未知量. 令34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得导出组的基础解系:(0, 1, 1, 0)T ,(-4, 1, 0, 1)T . 所以,方程组的通解为:(0, 1, 0, 0)T +c 1(0, 1, 1, 0)T +c 2(-4, 1, 0, 1)T ,其中,c 1,c 2为任意常数.
24.已知向量组
,讨论该向量
组的线性相关性. 解:因为121121
1102
2(2)(6)24082
a a a a a a ----=+=-++. 当a =2或a =-6时,向量组相性相关;
当a ≠2且a ≠-6时,向量组线性无关.
25.已知矩阵A =

(1)求矩阵A 的特征值与特征向量; (2)判断A 可否与对角矩阵相似,若可以,求一可逆矩阵P 及相应的对角形矩阵Λ.
解:矩阵A 的特征多项式为:
21
10|4
30(2)(1)102
λλλλλλ+--=-=----|E A , 所以,A 的特征值为:1231,2λλλ===.
对于121λλ==,求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系,
210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
E A ,得基础解系:121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,从而矩阵A 的对应于特征值121λλ==的全部特征向量为:121c -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
,(c ≠0). 对于32λ=,求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系,
3101002410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
E A ,得基础解系:001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,从而矩阵A 的对应于特征值32λ=的全部特征向量为:00(0)1c c ⎛⎫
⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭
. 因为三阶矩阵A 只有两个线性无关的特征向量,所以, A 不能相似于对角矩阵.
26.设二次型
(1)将二次型化为标准形;
(2)求二次型的秩和正惯性指数.
解:(1) 利用配方法,将二次型化为标准形: 222123112132233
,,22243f x x x x x x x x x x x x =+-+--() 22222112323232233
[2()()]()243x x x x x x x x x x x x =+-+---+-- 2221232233
()24x x x x x x x =+-+-- 222212322333
()(2)5x x x x x x x x =+-+-+-
222123233
=()()5x x x x x x +-+--. 令112322333y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩,即11222333
x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪
=⎩,
得二次型的标准形为:2
2
2
1235y y y +-.
(2)由上述标准形知:二次型的秩为3,正惯性指数为2.
四、证明题(本大题共6分)
27.已知A 是n 阶方阵,且
,证明矩阵A 可逆,并求
证:由2()+=A E O ,得: A 2+2A = -E ,从而 A (A +2E )= -E , A (-A -2E )= E 所以A 可逆,且12-=--A A E .。

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