2020届山东省广饶一中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A．B． C．D．2．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,P Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则OS OR的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．[)2,+∞ C ．(]0,2D ．()2,+∞3．.已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅u u u r u u u u r 最小值为( )A ．2-B ．8116-C ．1D ．04．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，若()()a b sinA sinB -+(sin )c C B =，则角A 等于A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( )A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎤⎥⎝⎦ D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．若点(,0)A t 与曲线e x y =上点P的距离的最小值为t 的值为（ ）A ．ln 243-B ．ln 242-C ．ln 333+D ．ln 332+7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．1763 B．1603 C．1283 D．328．已知O为坐标原点，抛物线2:8C y x=上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则OP AP+的最小值为（）A．213B．8 C．45D．469．已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A．求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和B．求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和C．求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和D．求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和10．已知函数()2sin()cos(0,0)6f x x a x aπωωω=++>>对任意的12,x x R∈，都有12()()43f x f x+≤()f x在[]0,π上的值域为3⎡⎣，则实数ω的取值范围为A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．函数()y f x=的图象过原点且它的导函数()y f x'=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x=的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数f （x ）定义域为R ，则命题p ：“函数f （x ）为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f （x 0）=f （-x 0）”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若非零向量,a b r r 满足()2a a b⊥+r r r ，则a b b+=rr r __________．14．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点(0,3)，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 15．在数列{}n a 中，已知122a a ==．若2n a +是1n n a a +的个位数字，则27a =______．16．已知六棱锥P ABCDEF -，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点P 为ABC ∆内一点，且1tan 3PAB ∠=，1tan 2PBA ∠=.求APB ∠；求PC .18．（12分）设直线l 的方程为(1)20a x y a +++-=，a R ∈.若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；若l 与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a 的值.19．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，且经过点1(3,)2M ．求椭圆C 的方程；与x 轴不垂直的直线l 经过2)N ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值范围．20．（12分）某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的,A B 两项指标数据进行收集和分析、得到的数据如下表：指标1号小白鼠2号小白鼠3号小白鼠4号小白鼠5号小白鼠A 5 7 6 9 8 B22344（1）若通过数据分析，得知A 项指标数据与B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B 项指标数据y 关于A 项指标数据x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+；现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B 项指标数据高于3的概率.参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ ˆˆ=.a y bx -21．（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）： 空气质量指数 (]0,50 (]50,100 (]100,150 (]150,200 (]200,250 (]250,300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望.22．（10分）已知多面体ABCDE 中，ACD DE ⊥平面，AB DE ∥，2AC AD CD DE ====，1AB =，O为CD的中点。

求证：AO P平面BCE；求异面直线AC和BE所成角的余弦值；求直线BD与平面BCE所成角的正弦值。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A2．D3．A4．D5．B6．D7．B8．A9．C10．A11．A12．A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．114．115．416．15 3三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）34π（2）210PC=【解析】【分析】（1）利用两角的正切公式，求得()tan 1PAB PBA ∠+∠=，得到4PAB PBA π∠+∠=，从而得到34APB π∠=.（2）计算出CA 的长，求得sin CAP ∠，cos CAP ∠的值，由正弦定理求得PA 的长，再由余弦定理求得PC 的长. 【详解】解：（1）由条件及两角和的正切公式，()tan tan tan 1tan tan PAB PBA PAB PBA PAB PBA ∠+∠∠+∠=-∠⋅∠ 1132111132+==-⨯， 而0PAB PBA π<∠+∠<，所以4PAB PBA π∠+∠=，则()344APB PAB PBA ππππ∠=-∠+∠=-=. （2）由（1）知，4PAB PBA π∠+∠=，而在等腰直角三角形ABC中，CA =4CAB CAP PAB π∠=∠+∠=，所以CAP PBA ∠=∠，则1tan tan 2CAP PBA ∠=∠=，进而可求得sin sin CAP PBA ∠=∠=，cos cos 5CAP PBA ∠=∠=. 在PAB ∆中，由正弦定理，sin 4sin 2PBA PA AB APB ∠=⋅==∠在PAC ∆中，由余弦定理，2222cos PC AC AP AC AP CAP =+-⋅⋅∠328825555=+-⨯=，∴PC =【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题. 18． (1) 直线l 的方程为30x y +=或20x y ++=;(2) 8a =±4a =-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论：当直线过原点时，a=2；当直线l 不过原点时，a=0，从而求出直线l 的方程． （Ⅱ）由题意知l 在x 轴，y 轴上的截距分别为21a a -+，2a -，由三角形面积构建方程，求出a 的值． 试题解析：（1）由题意知，10a +≠，即1a ≠-当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时2a =，直线l 的方程为30x y +=； 当直线l 不过原点时，即2a ≠时，由截距相等，得221a a a -=-+，即0a =， 直线l 的方程为20x y ++=，综上所述，所求直线l 的方程为30x y +=或20x y ++=. （2）由题意知，10a +≠，20a -≠， 且l 在x 轴，y 轴上的截距分别为21a a -+，2a -， 由题意知，122621a a a --=+，即()22121a a -=+当10a +>时，解得8a =±当10a +<时，解得4a =-，综上所述，8a =±4a =-.19．（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）(,)22-∞-+∞U【解析】 【分析】（I ）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合222a b c =+列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（II ）设直线l的方程为y kx =点O 在以AB 为直径的圆内得0OA OB u u u r u u u r⋅<，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得k 的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）由题意可得222223114a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a =，1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）设直线l的方程为y kx =+2214x y +=整理可得得()221440k x+++=，()()2216140k∆=-+>，解得12k >或12k <-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，又12x x +=，122414x x k ⋅=+，∴()21212122y y k x x x x =++， ∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，∴0OA OB u u u r u u u r⋅<，∴()()21212121212x x y y kx x x x +=+++ ()22412014k k ⎛=+++< +⎝⎭，解得k <2k >. 故直线l斜率的取值范围为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.20．（1）11ˆ22yx =-；（2）910.【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）利用列举法和古典概型概率计算公式，求得所求概率. 【详解】（1）根据题意，计算()15769875x =⨯++++= ()12234435y =⨯++++=，()()()112221151102ˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x x ====---====--∑∑∑∑ ˆ1=ˆˆ2ay bx -=-，所以线性回归方程为1122ˆy x =-. （2）从这5只小白鼠中随机抽取三只，基本事件数为223,224,225,234,235,245，……，345共10种不同的取法，其中至少有一只B 项指标数据高于3的基本事件共9种取法， 所以所求概率为910p =. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用列举法求古典概型的概率，属于中档题. 21．（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；（2）7()15P A =；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图得到11月中10天的空气质量优良的频率，即为概率，然后进行估计可得30天中空气优良的天数．（2）根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率．（3）先判断出随机变量ξ的所有可能取值，然后分别求出对应的概率，进一步可得分布列和期望． 【详解】（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天. 所以这10天中空气质量达到优良的概率为310P =， 因为330910⨯=， 所以11月中平均有9天的空气质量达到优良．（2）记“从10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A ，则()1228310715C C P A C ⋅==， 即恰好有一天空气质量良的概率715． （3）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，()13283107015C C P C ξ⋅===； ()12283107115C C P C ξ⋅===； ()21283101215C C P C ξ⋅===． 所以ξ的分布列为：所以30121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】解得此类应用题的关键在于读懂题意，并从统计图表中得到解题的条件和信息，然后再根据要求进行求解．求分布列时首先要得到随机变量的所有可能取值，然后再根据概率类型求出相应的概率，列成表格的形式即可．本题考查概率与统计的结合，属于基础题．22． (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ(Ⅲ. 【解析】 【分析】(Ⅰ)取CE 中点F ，连接BF ，OF ，由几何关系可证得四边形ABFO 为平行四边形，结合线面平行的性质定理可得题中的结论；(Ⅱ)取DE 中点M ，连接AF ，由题意可证得ABEM 为平行四边形，从而∠CAM 或其补角为AC 与BE 所成的角.求得三角形的边长，利用余弦定理可得异面直线AC 和BE 所成角的余弦值.(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论可知∠DBF 就是直线BD 与平面BEC 所成角，利用边长的比值关系可得BD 与平面BCE 所成角的正弦值. 【详解】(Ⅰ)取CE 中点F ，连接BF ，OF ， ∵O 为CD 的中点， ∴OF ∥DE ，且OF=DE ，∵AB//DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1， ∴OF ∥AB ，OF=AB ，则四边形ABFO 为平行四边形，∴AO//BF ，BF ⊆平面BCE ，AO ⊊平面BCE ， ∴AO//平面BCE ；(Ⅱ)取DE 中点M ，连接AF ， ∵AB ∥DE ，AB=1，DE=2， ∴AB ∥ME ，AB=ME ， ∴ABEM 为平行四边形. ∴AM//BE.∴∠CAM 或其补角为AC 与BE 所成的角. ∵DE ⊥平面ACD ，AD ，CD ⊆平面ACD ， ∴DE ⊥CD ，DE ⊥AD ，在Rt CDM V 中，CD=2，DM=1，CM ∴=，在Rt ADM △中，AD=2，DM=1，AM ∴=222cos25CA AM CM CAM CA AM +-∠===⋅.所以异面直线AC 和BE 所成角的余弦值为5. (Ⅲ)由题意可得BF//AO ，∵AO ⊥平面CDE ，∴BF ⊥平面CDE ，∴BF ⊥DF. ∵CD=DE ，∴DF ⊥CE ，∵BF∩CE=F ，∴DF ⊥平面CBE ； ∴∠DBF 就是直线BD 与平面BEC 所成角. 在△BDF 中，2,5DF BD ==，10sin 5DBF ∴∠=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，线面角的求解，异面直线所成角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 高考模拟数学试卷全卷满分150分，考试用时120分钟。