第17章 极限荷载【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(212δδδσb hbh M s u +=。

（b ）圆形截面的极限弯矩为63D M s u σ=。

（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=33)21(16D D M su δσ。

【解】（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。

静距计算公式：2021d xy y xy S y ==⎰考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122222212bhb b h h bh h h b bh hb h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(21212δδδb h bh S +=因此极限弯矩为)41()(212δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：2021d xy y xy S y==⎰ 6322d 2))2(d(21)2(4d )2(43)2(023)2(0202222202222D uu u y D y D y y y D S D DDD =⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰⎰⎰关/注；公，众。

号：倾听细雨因此极限弯矩为63D S M s s u σσ==（c ）圆的静距为63D S =则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==33)21(16D D S M ss u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。

设材料的屈服应力为s σ。

【解】设等面积轴距上顶面距离为xmm 。

由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得405550))50(21(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。

单个角钢上下截面面积矩：32323232233214879mm ])723.440(20)723.440(31)723.445(20)723.445(31[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。

【解】（1）塑性铰可能出现在竖直支座处记塑性铰处转角为θ，则杆端竖直位移为1⋅=∆θ由虚功原理可得1⋅=∆=θθp p u F F M极限荷载u pu M F =1。

（2）塑性铰可能出现在固定端记塑性铰处转角为θ，则杆端竖直位移为θ2=∆ 由虚功原理可得θθp p u F F M 25.1=∆=获取更多内容极限荷载u pu u pu M F M F =<=1275.0。

关/注；公，众。

号：倾听细雨因此，塑性铰会产生在固定端，极限荷载为u pu pu M F F 75.02==。

【17-4】 试求图示各梁的极限荷载。

【解】（1）塑性铰可能出现在两个固定端和其中一个荷载作用点处记远侧固定端转角为1θ，另一固定端转角为2θ，形成塑性铰的荷载作用点处转角为3θ。

形成塑性铰的荷载作用点处竖直位移为1∆，另一荷载作用点处竖直位移为2∆。

由几何关系得121113123,32,3,2θθθθθθl l =∆=∆==由虚功原理可得1111133232θθθθθl F l F M M M p p u u u ⋅+⋅=⋅+⋅+ 极限荷载lM F upu 61=。

（2）塑性铰可能出现在其中一个固定端和两个荷载作用点处记形成塑性铰的固定端转角为1θ，近侧的荷载作用点处转角为2θ，远侧的荷载作用点处转角为3θ。

近侧的荷载作用点处竖直位移为∆。

由几何关系得113123,,2θθθθθl=∆==由虚功原理可得111132θθθθlF M M M p u u u ⋅=⋅+⋅+获取更多内容极限荷载lM F l M F upu u pu 61212=>=。

关/注；公，众。

号：倾听细雨因此，塑性铰会产生在其中一个固定端和两个荷载作用点处，极限荷载为lM F F upu pu 61==。

【17-5】 试求图示各梁的极限荷载。

【解】从左到右将各关键点记为A 、B 、C 、D 点。

破坏情况分类：（1）情况一：A 、B 点出现塑性铰由几何关系得θθ=A ，33θθl l A B =⋅=∆223θθ=∆=l B D ，23θθθθ=+=D A B63θθl l D C =⋅=∆由虚功原理可得Cp B p B u A u F F M M ∆⋅+∆⋅=⋅+θθ即6323θθθθl F l F M M p p u u ⋅+⋅=⋅+极限荷载lM F upu 51=。

（2）情况二：B 、C 点出现塑性铰由几何关系得θθθ==D B ，θθθθ2=+=D B C 0=∆B ，33θθl l C =⋅=∆由虚功原理可得Cp B p B u B u F F M M ∆⋅+∆⋅=⋅+θθ即32θθθl F M M p u u ⋅=⋅+ 极限荷载lM F upu 92=。

（3）情况三：A 、C 点出现塑性铰由几何关系得θθ=A ，33θθl l A B =⋅=∆3232θθl l A C =⋅=∆，θθ23=∆=lC D θθθθ3=+=D A B 由虚功原理可得Cp B p C u A u F F M M ∆⋅+∆⋅=⋅+θθ即3233θθθθl F l F M M p p u u ⋅+⋅=⋅+获取更多内容极限荷载lM F upu 43=。

关/注；公，众。

号：倾听细雨因此，塑性铰会产生在A 、C 点处，极限荷载为lM F F upu pu 43==。

【17-6】 试求图示变截面梁的极限荷载及相应的破坏机构，设：（a ）2='uuM M ； （b ）5.1='uuM M 。

【解】破坏情况分类：（1）情况一：A 、B 点出现塑性铰由几何关系得θθ=A ，θ⋅=∆4B785.3θθ=∆=B D ，71578θθθθ=+=B 由虚功原理可得B p B u A uF M M ∆⋅=⋅'+'θθ即θθθ4715⋅=⋅'+'p u uF M M 极限荷载u upu M M F '='=786.014111。

（2）情况二：B 、C 点出现塑性铰由于0=∆B ，列虚功方程恒得各点转角为零，故不可能发生该情况破坏。

（3）情况三：A 、C 点出现塑性铰 由几何关系得θθ=A ，θ⋅=∆4BA C θ⋅=∆5.5，θθ75.22=∆=CD θθθθ75.3=+=D A C 由虚功原理可得B pC u A uF M M ∆⋅=⋅+'θθ（C 点弯矩为u M 时右截面即已经进入屈服）即θθθ475.3⋅=⋅+'p u uF M M 极限荷载)75.3(413u upu M M F +'=。

（a ）2='uuM M u upu M M F 572.1786.01='= u u u upu M M M M F 438.1719.0)75.3(413='=+'= 因此，塑性铰会产生在A 、C 点处，极限荷载为u pu pu M F F 438.13==。

（b ）5.1='uuM M u upu M M F 179.1786.01='= u u u upu M M M M F 313.1875.0)75.3(413='=+'= 关/注；公，众。

号：倾听细雨因此，塑性铰会产生在A 、B 点处，极限荷载为u pu pu M F F 179.11==。

【17-7】 试求图示连续梁的极限荷载。

【解】从左到右将各关键点记为A 、B 、C 、D 、E 点。

破坏情况分类： （1）情况一：左跨破坏由几何关系得θθθ==C A ，θθθθ2=+=C A B2lB ⋅=∆θ由虚功原理可得Bp C u B u F M M ∆⋅=⋅+θθ即22θθθl F M M p u u ⋅=⋅+ 极限荷载lM F upu 61=。

（2）情况二：右跨破坏由几何关系得θθθ==E C ，θθθθ2=+=E C D 2lD ⋅=∆θ由虚功原理可得Dp E u D u C u F M M M ∆⋅=⋅+⋅+θθθ即222θθθθl F M M M p u u u ⋅=+⋅+极限荷载lM F upu 42=。

关/注；公，众。

号：倾听细雨因此，破坏会发生在右跨，极限荷载为lM F F upu pu 42==。

【17-8】 试求图示连续梁的极限荷载。

【解】从左到右将各关键点记为A 、B 、C 、D 、E 点。

破坏情况分类： （1）情况一：左跨破坏由几何关系得θθθ==C A ，θθθθ2=+=C A Bθ⋅=∆5B由虚功原理可得222BC u B u A u ql M M M ∆=⋅++θθθ（C 点弯矩为u M 时右截面即已经进入屈服） 即2510222θθθθ⋅⋅=⋅+⋅+⋅q M M M u u u极限荷载u u u M M q 28.02571==。

（2）情况二：右跨破坏由几何关系得θθθ==E C ，θθθθ2=+=E C Dθ⋅=∆3D由虚功原理可得2D D u C u ql M M ∆=⋅+θθ 即2362θθθ⋅⋅=⋅+q M M u u获取更多内容极限荷载u u u M M q 33.0312==。

关/注；公，众。

号：倾听细雨因此，破坏会发生在左跨，极限荷载为u u u M q q 28.01==。

【17-9】 试求图示连续梁的极限荷载。

【解】从左到右将各关键点记为左跨（ABC ）、中跨（CDE ）、右跨（EFGH ）。

破坏情况分类： （1）情况一：左跨破坏由几何关系得θθθ==C A ，θθθθ2=+=C A Bθ⋅=∆2B由虚功原理可得2B C u B u A u ql M M M ∆=⋅++θθθ 即2242θθθθ⋅⋅=⋅+⋅+⋅q M M M u u u极限荷载u u M q =1。

（2）情况二：中跨破坏由几何关系得θθ=C ，θ⋅=∆3D ，θθ31=∆=DE ，θθθθ4=+=E C D 由虚功原理可得Dp E u D u C u F M M M ∆=⋅++1θθθ即θθθθ3434⋅=⋅+⋅+⋅q M M M u u u关/注；公，众。

号：倾听细雨极限荷载322uu M q =。

（3）情况三：右跨破坏 ①E 、F 点形成塑性铰Gp F p F u E u F F M M ∆+∆=+22θθ21123θθθθ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅q q M M u u 极限荷载351,3uu M q =。