cij=第i季度每台的生产成本+0.15(j-i)（储存、维护等费用）
把第i季度生产的柴油机数看作第i个生产厂商的产 量；把第j季度交货的柴油机数看作第j个销售点的销 量；生产成本加储存、维护等费用看作运费。将生产 与储存问题转化为运输问题，相关数据见表。
2 运输问题数学模型和电子表格模型
柴油机生产的相关数据
1 运输问题基本概念
例1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每日 的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别 运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销量分 别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单 位产品运价如表1所示。问该公司应如何调运这些产品， 在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
平衡运输问题的条件：
1. 明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需求 量（销量）和单位成本。
2. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量 都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的 需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝总需 求”。
3. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本 与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单位成 本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。
月份
正常生产能力 （台）
加班生产能力 （台）
合同销量（台）
单台费用 （万元）
1月
60
10
104
15
2月
50
10
75
14
3月
90
20
115
13.5
4月
100
40
160
13
5月
100
40
103
13
6月
80
40
70
13.5
4 运输问题应用举例
例7 华中金刚石锯片厂有两条生产线，分别生产直 径900-1800mm大锯片基体20000片，直径350-800mm 中小锯片基体40000片。公司在全国有25个销售网 点，主要销售区域集中在福建、广东、广西、四川、 山东5个石材主产区。为完成总厂的要求，公司决 定一方面拿出10%的产量稳定与前期各个客户的联 系以保证将来的市场区域份额，另一方面，面临如 何将剩余的90%的产量合理分配给五个石材主产区 和其他省区，以获取最大的利润。各个销售区的最 低需求、销售固定费用、每片平均运费、每片从总 厂库房的购进价与当地的销售价差贡献等自然情况 见表。问应如何分配给各个销售区，才能使得总利 润为最大？
表1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10 7
A2
1
9
2
84
A3
7
4
10 5 9
销量（吨） 3
6
5
6
对于例1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四个
销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由于总产 量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。 (1)决策变量
3 各种变形的运输问题建模
例4 某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生产。每 单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力以每天生产的任意 种产品的数量来衡量（见表的最右列）。而每种产品每天有一定的需求 量（见表的最后一行）。每家工厂都可以制造这些产品，除了工厂2不 能生产产品3以外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异 的（如表所示）。
现在需要决定的是在哪个工厂生产哪种产品，可使总成本最小。
表 产品生产的有关数据
工厂1 工厂2 工厂3
需求量
单位成本（元）
产品1 41 40 37 20
产品2 产品3
27
28
29
－
30
27
30
30
产品4 24 23 21 40
生产能力
75 75 45
3 各种变形的运输问题建模
解：指定工厂生产产品 可以看作运输问题来求 解。本题中，工厂2不能 生产产品3，这样可以增 加约束条件 ；并且，总 供应x23＝0 （75+75+45=195）>总需 求（20+30+30+40=120）。 其数学模型如下：
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单 位，如果卡车不能装满的话，就很不经 济了。整数解性质就避免了运输量（运 输方案）为小数的麻烦。
（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
运输问题和指派问题 The Transportation and Assignment Problems
本章内容要点
运输问题的基本概念及其各 种变形的建模与应用 指派问题的基本概念及其各 种变形的建模与应用
本章节内容
1 运输问题基本概念 2 运输问题数学模型和电子表格模型 3 各种变形的运输问题建模 4 运输问题应用举例 5 指派问题 6 各种变形的指派问题建模
设xij为工厂i生产产品 j的数量
3 各种变形的运输问题建模
例4的电子表格模型
产品4分在2个工厂生产
3 各种变形的运输问题建模
例5 某公司在3个工厂中专门生产一种产品。在未来的4个月中，有四个
处于国内不同区域的潜在顾客（批发商）很可能大量订购。顾客1是公司 最好的顾客，所以他的全部订购量都应该满足；顾客2和顾客3也是公司 很重要的顾客，所以营销经理认为作为最低限度至少要满足他们订单的 1/3；对于顾客4，销售经理认为并不需要进行特殊考虑。由于运输成本 上的差异，销售一个产品得到的净利润也不同，很大程度上取决于哪个 工厂供应哪个顾客（见表）。问应向每一个顾客供应多少货物，以使公 司总利润最大？
（3）约束条件 ①满足产地产量
（3个产地的产 品都要全部配 送出去） ②满足销地销量 （4个销地的产 品都要全部得 到满足） ③非负
2 运输问题数学模型和电子表格模型
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作业 法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”工具还是采用 “单纯形法”来求解。
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2的电子表格模型
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例3 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三 个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地 的销量和各产地运往各销地每件物品的运费 如表所示。问应如何调运，可使得总运输费 最小？
例3 运输费用表
B1 B2 B3 产量
3 各种变形的运输问题建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征： （1）总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其出 发地中配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （2）总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其目 的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 （3）一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有在 这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。 （4）在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0）。 （5）目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本最 小。（Min－> Max）
1

3
4
1
10.8 10.95 11.10 11.25
2
11.10 11.25 11.40
3
11.00 11.15
4
11.30
需求量 10 15
25
20
生产能力
25 35 30 10
由表可知，总产量（生产能力）为 25+35+30+10=100，总销量（需求量）为 10+15+25+20=70，因此是产大于销的运输问题
例1的电子表格模型
2 运输问题数学模型和电子表格模型
（1）产销平衡运输问题的数学模型 具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地 Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
2 运输问题数学模型和电子表格模型
需要注意的是：运输问题有这样一个性 质（整数解性质），只要它的供应量和 需求量都是整数，任何有可行解的运输 问题必然有所有决策变量都是整数的最 优解。因此，没有必要加上所有变量都 是整数的约束条件。
各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生 产 能 力 （ 台 ） 单位成本（万元）
1 25
10.8
2 35
11.1
3 30
11.0
4 10
11.3
2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，可以转化为 运输问题来做。
由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货， 所以设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数。 则第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成 本cij为：
随着经济的不断发展，现代物流业蓬勃发展， 如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联 运体系创造更多的价值，向运筹学提出了更 高的挑战。
要求科学地组织货源、运输和配送使得运输 问题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是 实现现有资源的最优化配置。
1 运输问题基本概念