x逆元x x的逆元x1 （x可逆）
的逆元为 B的逆元为B
16
定理
定理 设为S上的二元运算，el、er分别为运 算的左单位元和右单位元，则有 el = er = e 且e 为S上关于运算的唯一的单位元。
P225 定理15.2
17
定理
定理 设为S上的二元运算，l和r分别为运
算的左零元和右零元，则有
l = r = 且为S上关于运算的唯一的零元。
x(xy)＝x x(xy)＝x
则称运算和满足吸收律。 10
例题
集合 Z,Q,R Mn(R)
P(B)
运算
分配律
普通加法+与乘法 矩阵加法+与乘法
对+可分配 +对不分配
对+可分配 +对不分配
并∪与交∩
∪对∩可分配 ∩对∪可分配
交∩与对称差 ∩对可分配
吸收律 无 无 有 无
11
二元运算中的特异元素—单位元
二元运算的运算表
a1
a2
…
an
a1
a1a1 a1a2
…
a1an
a2
a2a1 a2a2
…
a2an
…
…
…
…
…
an
ana1 ana2
…
anan
3
例
例 设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表 ，
其中全集为S。
的运算表
~的运算表
{1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2}
ai ~ ai {1,2}
20
消去律
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的
x,y,z∈S，满足以下条件： （1）若xy ＝xz且x ，则y ＝z （左消去律） （2）若yx ＝ zx且x ，则y＝z （右消去律）
则称运算满足消去律。(P226 定义15.8) 例如： 整数集合上的加法和乘法都满足消去律。 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。
定义 设为S上的二元运算， 如 果 存 在 元 素 el（ 或 er）S， 使 得 对 任 意
x∈S都有 elx = x (或xer = x)
则称el (或er)是S中关于运算的一个左单位元 (或右单位元)。
(P224-225 定义15.6) 若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元，
则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫 做幺元。
13
二元运算中的特异元素—逆元
定义 设为S上的二元运算，eS为运算的单 位元，对于x∈S，
如果存在yl（或yr）∈S使得 ylx＝e（或xyr＝e）
则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。 若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称
y为x的逆元。 如果x的逆元存在，则称x是可逆的。
P225 定义15.7
14
特异元素的实例
集合
运算
单位元
零元
Z,Q,R
普通加法 普通乘法
Mn(R)
矩阵加法 矩阵乘法
并∪
P(B)
交∩
逆元
15
特异元素的实例
集合
运算
单位元
零元
逆元
Z,Q,R
普通加法 普通乘法
0 1
无 0
Mn(R)
矩阵加法 矩阵乘法
n阶全0矩阵 n阶单位矩阵
无 n阶全0矩阵
并∪
P(B)
交∩
B
B
x的逆元x x的逆元x1
7
例题
集合
运算
Z,Q,R Mn(R) P(B)
AA
普通加法+ 普通乘法
矩阵加法+ 矩阵乘法
并∪ 交∩ 相对补 对称差
函数复合
交换律 结合律
幂等律
8
例题
Hale Waihona Puke 集合运算Z,Q,R Mn(R) P(B)
AA
普通加法+ 普通乘法
矩阵加法+ 矩阵乘法
并∪ 交∩ 对称差
函数复合
交换律 结合律
有
有
有
有
有
有
无
有
有
有
有
有
有
有
无
有
幂等律
无 无
无 无
有 有 无
无
9
二元运算的性质
定义 设和为S上两个二元运算，如果对于任意
的x,y,z∈S，有
x(yz) ＝ (xy) (xz) (yz)x ＝ (yx) (zx)
（左分配律） （右分配律）
则称运算对运算满足分配律。
P224 定义15.5
定义 设和为S上两个可交换的二元运算，如果 对于任意的x,y∈S，都有
12
二元运算中的特异元素—零元
定义 设为S上的二元运算， 如果存在元素θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有
θlx = θl (或xθr = θr)， 则称θl (或θr)是S上关于运算的左零元(或右零元)。 若θ∈S关于运算既是左零元又是右零元，则称θ为S 上关于运算的零元。
P225 定义15.6
第十五章 代数系统
1
二元运算及其性质
定义(P222 定义15.1)设A为集合，函数 f： A×A→A 称为A上的二元运算。
例 f:N×N→N，f(<x,y>)＝x + y
f:N×N→N，f(<x,y>)＝x–y
定义(定义15.2) 设A为集合，函数 f：An→A 称为A上的n元运算。
2
二元运算的表示
P225 定理15.3
18
定理
定理 设为S上的二元运算，e 和分别为运
算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，
则e。
P225 定理15.4
19
定理
定理 设为S上可结合的二元运算，e为该运
算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元yl
和右逆元yr，则有 yl = yr= y
且y是x的唯一的逆元。 P226 定理15.5
定义 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…, fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记 做<S, f1, f2, …, fk>。(P227 定义15.9上一行)
21
例
例 设A={a,b,c}，A上的二元运算、、如表所示。 (1)说明、、运算是否满足交换律、结合律、消
去律和幂等律。 (2)求出关于、、运算的单位元、零元和所有可
逆元素的逆元。
abc aabc bbca ccab
abc aabc bbbb ccbc
abc aabc babc cabc
22
代数系统
{1} {1} {1,2} {2}
{1} {2}
{2} {2} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {2} {1}
{2} {1}
{1,2}
4
例
例 设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下： x y＝(xy) mod 5， x,y∈S 求运算的运算表。
1234 11234 22413 33142 44321
5
二元运算的性质
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的 x,y∈S 都 有 xy=yx， 则 称 运 算 在 S 上 满 足 交换律。
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的 x,y,z∈S都有 (xy)z=x(yz)，则称运算在S 上满足结合律。(P223 定义15.3)
6
二元运算的性质
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的 x∈S有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。 如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算 的幂等元。(P223定义15.3)