B′C′ = BC[1+2cos(π-α)]
2
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
m BC= BC[1+2cos(π-α)] cosα = (1-m)/2 m α -1 0 0
2π 6
-1≤m≤3 2
2π 3
1
2π 4
3
2π 2
如绕轴旋转2π/n角度及其整数倍为对称操 角度及其整数倍为对称操 如绕轴旋转 作，则称该轴为 n 度轴（n 重轴）. n=1，称为不 重轴） ， 变操作，旋转2π角度相当于不动 变操作，旋转 角度相当于不动 结论：晶体中不存在 度轴 也不存在7度 度轴， 结论：晶体中不存在5度轴，也不存在 度 以及7度以上的对称轴 以及 度以上的对称轴
13
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
1.2. 2 .
二维晶格的分类 四大晶系和五种布拉维格子
1. 斜方
a≠b
γ ≠ 90
o
v b γ v a
布拉维格子： 布拉维格子：简单斜方
14
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
18
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
1.2. 3 .
三维晶格的分类 七大晶系和十四种布拉维格子
1. 三斜
a≠b≠c
c
α ≠ β ≠γ
布拉维格子： 布拉维格子：简单三斜
β α a b γ
19
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
1.2. 0 .
晶体的对称性
1. 对称操作
一几何体在旋转、反演、 一几何体在旋转、反演、镜面反映等变换 下不变， 下不变，则该变换就称为几何体的对称操作
σ
v v r → −r
旋转 镜面反映 反演
1
固体物理导论 固体物理导论 物理
9
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
32个点群（熊夫利符号记法） 32个点群（熊夫利符号记法） 个点群
1. 只含一个元素（不动），用C1标记，表示没 只含一个元素（不动）， ），用 标记， 有任何对称的晶体， 个 有任何对称的晶体，1个 2. 只包含一个旋转轴的点群称为回旋群，标记 只包含一个旋转轴的点群称为回旋群， 为 C2， C3， C4， C6 ，共4个 个 3. 包含一个 n 度轴和 n 个与之垂直的 度轴的点群 个与之垂直的2度轴的点群 称为双面群， 称为双面群，标记为 D2， D3， D4， D6 ，共4个 个
o
β α a γb
c
21
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
4. 四方
a=b≠c
α = β = γ = 90
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单四方 2. 体心四方
o
β α b a γ
c
22
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
26
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型 所属点群 C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
晶系 布拉维格子 四方 简单四方 体心四方 三角
晶胞参数 a=b ≠c α= β ＝γ= 90º a=b=c α= β ＝γ ≠ 90º
三角
六角
六角 简单立方 体心立方 面心立方
a=b ≠c C6、C3h、C6h、D6、 C6V、D3h、D6h α= β ＝ 90º, γ=120º a=b=c α= β ＝γ＝ 90º T、Th、Td O、Oh
27
立方
1 =i
2=m
7
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
8. 群
一组定义了群乘运算的元素的集合G， 一组定义了群乘运算的元素的集合 ，如果满 足以下条件，就称为群，群元的个数称为群的阶 足以下条件，就称为群， 1. 2. 3. 4. 单位元存在，设为 ， 单位元存在，设为E，有 AE=EA=A，A∈G ， ∈ 逆元存在， 逆元存在，BA=AB=E, 记 B=A-1, A,B∈G ∈ 满足结合律 (AB)C=A(BC), A,B,C∈G ∈ 具有封闭性, 具有封闭性 若A,B ∈G，则 AB=C ∈G ，
8
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
9. 点群
晶体的对称操作满足群的性质， 晶体的对称操作满足群的性质，因此常用 对称性群来描述晶体的宏观对称性，对称操作 对称性群来描述晶体的宏观对称性， 即为群的元素 上述晶体的宏观对称操作都不改变一个特 殊点的位置，即选定的原点， 殊点的位置，即选定的原点，常称晶体宏观对 称性群为晶体点群。晶体点群共32种 称性群为晶体点群。晶体点群共 种。
三维维晶格的七大晶系和十四种布拉维格子
晶系 三斜 布拉维格子 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 晶胞参数 a≠b ≠c α≠β≠γ a≠b ≠c α=γ=90º ≠β a≠b ≠c α= β ＝γ= 90º 所属点群 C1、Ci C2、Cs、C2h
单斜
正交
D2、C2V、D2h
10
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
4. C1群加上中心反演组成 Ci 群； C1群加上镜面 反映组成 Cs 群，2个 个 5. Cn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Cnh 4个 群，共4个； Cn群加上 n 个含 n 度轴的镜面反 映组成 Cnv 群，共4个 个 6. Dn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Dnh 群， 度轴及两2度轴角平分线的 共4个；Dn群加上通过 n 度轴及两 度轴角平分线的 个 只有D 镜面反映组成 Dnd 群，只有 2d、D3d，共2个 个
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
2. 晶体许可的旋转对称轴
设绕通过格点B垂直 设绕通过格点 垂直 于纸面的轴旋转α角度为 于纸面的轴旋转 角度为 对称操作 C → C′
C′
α
B
α
C
B′
A
D
根据格点的等价性，绕通过 点垂直于纸面 根据格点的等价性，绕通过C点垂直于纸面 的轴旋转-α角度也为对称操作 的轴旋转 角度也为对称操作 B → B′ BC // B′C′ B′C′ = m BC, m∈ Z
o
2. 长方
a≠b
γ = 90
v b
简单长方
γ
v a
有心长方
v b γ
v a
15
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
3. 正方
a=b
简单正方
γ = 90
o
v b
γ
v a
16
固体物理导论 固2 . 晶格的基本类型
4. 六角
2. 单斜
a≠b≠c o α = γ = 90 ≠ β
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单单斜 2. 底心单斜
c a
β
α b γ
20
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
3. 正交
a≠b≠c
α = β = γ = 90
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单正交 2. 底心正交 3. 体心正交 4. 面心正交
5. 立方
c
a=b=c
α = β = γ = 90
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单立方 2. 体心立方 3. 面心立方
o
β α b γ a
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固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
6. 三角
a=b=c
α = β = γ < 120 , ≠ 90
o
o
布拉维格子： 布拉维格子：三角
a=b
简单六角
γ = 120
o
v b
γ
v a
17
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
二维晶格的晶系和布拉维格子 晶系 斜方 长方 正方 六角 轴和角度 a≠b, γ ≠90° a≠b, γ =90° a=b, γ =90° a=b, γ =120° 布拉维格子 简单斜方 简单长方 有心长方 简单正方 简单六角
3
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
3. 反演
对原点O的反演， 对原点 的反演，使 的反演 中心反演， 中心反演，用符号 i 表示
v v r → − r 的操作称为
4. 旋转反演
旋转与反演的结合的对称操作， 旋转与反演的结合的对称操作，称为 n 度 旋转反演对称 度及7度 受周期性制约，同样不存在5度 不存在 度及 受周期性制约，同样不存在 度、7度及 度 以上的旋转反演轴
4
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第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
5. 立方体的对称操作
对称操作 对称操作数 不动 6个2度轴 个 度轴 4个3度轴 个 度轴 3个4度轴 个 度轴 旋转反演 1 6 8 9 24