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插值法数值上机实验报告

插值法数值上机实验报告
实验题目:
利用下列条件做插值逼近,并与R (x) 的图像比较
考虑函数:R x y=1
1+x2
(1)用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的10次Newton插值多项式的图像;
π),i=0,1,...,20.给出它的20次Lagrange插值多项式(2)用节点X i=5cos(2i+1
42
的图像;
(3)用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段线性插值函数的图像;(4)用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的三次自然样条插值函数的图像;
(5)用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段三次Hermite插值函数的图像;
实验图像结果:
实验结果分析:
1.为了验证Range现象,我还特意做了10次牛顿插值多项式和20次牛顿插值多项式的对比图像,结果如下图(图对称,只截取一半)
可以看出,Range现象在高次时变得更加明显。

这也是由于高次多项式在端点处的最值随次数的变大很明显。

可以料定高次多项式在两侧端点处剧烈震荡,在更小的间距内急剧上升然后下降,Range现象非常明显。

2.分析实验(2)的结果,我们会惊讶地发现,由于取21个点逼近,原本预料的Range现象会很明显,但这里却和f(x)拟合的很好。

(即下图中Lagrange p(x)的图像)。

可是上图中取均匀节点的20次牛顿多项式逼近的效果在端点处却很差。

料想是由于节点X i=5cos2i+1
42
π ,i=0,1,...,20 取得很好。

由书上第五章的
知识,对于函数y=1
1+x ,y
1
2对应的cherbyshev多项式的根恰好为X i=
5cos2i+1
42
π ,i=0,1,...,20 。

由于所学限制,未能深入分析。

(3)比较三次样条插值图像和Hermit插值图像对原函数图像的逼近情形。

见下图:
初看上去,两者都逼近的很好,也都没有Range现象。

经放大后,局部来看:
在某些地方,分段三次Hermite插值比三次样条插值逼近效果更好。

分析如下:
三次样条插值函数只利用基点处的函数值,并未利用到导函数值,虽然要求二次连续可微,但这并不能保证逼近的好。

而分段三次Hermite插值在每段区间上不但要求函数值相等,还要求导函数值相等,这就保证了插值函数在基点处图像与原函数相切,所以逼近效果更好。

注意到分段三次Hermite插值比三次样条插值利用了更多的条件,这也从另一个方面说明了其逼近效果理论上应该更好。

(4)分析三次自然样条插值函数的图像,我们会发现逼近的效果很好,且没有实验(1)中的Range现象。

但同时我也发现了三次自然样条方法特别依赖于选点,如果少了点,影响会很大。

例如,在实现上图代码的基础上,将节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.去除其中X=0的点,得到下面的图像:中间直接拟合的效果很差。

(见下图)
是左右对称的,而恰好实验同时很依赖于节点的选取,由于这里原函数y=1
1+x2
所给的是等距左右对称的节点,所以效果才这么好,如果非等距对称节点效果会差不少。

4.对比三次Hermit插值和三次样条插值的图像:
实验中碰到的问题:
1.在编写实现第四个实验的程序时,由于不想在MATLAB中使用大量的for循环,特意使用MATLAB的向量化编程技巧。

例如:
但这里便没用到Honor算法,去算函数在作图点的值。

所以此处应该还可以在优化。

2.在设计最后一题程序时,由于时间问题没有考虑优化算法,仅仅为了实现画图的功能,编的很冗杂。

应该可以做大幅度的优化。

如下图:
3.初始时对Matlab运用不熟,时常有语法问题,比如“:”一不小心错用成“;”,导致运行结果故障。

程序实现:
本实验由MATLAB编程实现。

程序代码见后附文件。

说明:(共有八个函数文件)
1.Hermit_figure: 生成分段三次Hermit插值函数图形,并与原图形对比。

grange_function: 构造Lagrange插值函数,在后续Plot和Plot2中调用。

3.Newton_function: 构造Lagrange插值函数,在后续Plot和Plot2中调用。

4.Nspline_figure: 生成三次自然样条插值函数的图像,并与原图形对比。

5.Plot: 在同一个图中画Newton插值多项式图形(调用3)、Lagrange插值多项式图像(调用2)、分段线性图形、原函数图形。

6.Plot2:此文件用来在整个图像中生成前三问对应的子图(调用2和3)。

7.Plot3: 验证Range现象:比较Newton10次多项式和Newton20次多项式的图像(调用2)。

8.Plot4:生成自然三次样条插值的图形、原函数图形和Hermit插值多项式图形,并进行比较效果。

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