习题61.设A={1，2，3，4}，B=A×A。
确定下述集合是否为A到B的全函数或部分函数。
(1) {(1,(2,3)),(2,(2,2)),(3,(1,3)),(4,(4,3))}.(2) {(1,(1,2)),(1,(2,3)),(3,(2,4))}.(3){(1,(3,3)),(2,(3,3)),(3,(2,1)),(4,(4,1))}.解：（1）、全函数（2）、不符合单值（3）、全函数要点：根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素y 与之对应。
2.判别以下关系中那些是全函数。
(1){(n1,n2)|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}。
(2){(n1,n2)|n1,n2∈N,n2是n1的正因子个数}。
(3){(S1,S2)|S1,S2⊆{a,b,c,d}且S1 S2=Ø}。
(4){(a,b)|a,b∈N,gcd(a,b)=3}.(5){(x,y)|x,y∈Z,y=x2}.解：(1) {(n1,n2)|n1, n2∈N, 0<2 n1-n2<5}不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。
(2) {(n1,n2)|n1, n2∈N, n2是n1的正因子个数}部分函数，n1=0时无定义(3) {(S1,S2)|S1, S2⊆{a,b,c,d}且 S1⋂ S2= ∅}不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。
(4) {(a, b)|a, b ∈N, gcd(a,b)=3}不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。
(5) {(x, y)|x, y ∈Z, y=x2}全函数3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。
请利用集合A和B的特征函数χA（x）和χB（x）表示出A B，A B，A-B，A以及A○+B对应的特征函数。
解：（略）4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。
解: 可以定义n n个二元关系，n！个全函数5.设，证明：。
证明：b∈f(A)-f(C)⇒b∈f(A)∧ b∉f(C)⇒(∃x)[x∈A ∧ x∉C ∧ f(x)=b]⇒(∃x)[x∈A-C ∧ f(x)=b]⇒b∈f(A-C)所以f(A)-f(C)⊆f(A-C)7.设f：X→Y，A和B是X的子集。
证明，()()(),()()()⋃=⋃⋂⊆⋂f A B f A f B f A B f A f B证明：（1）y∈f(A∪B)⇒(∀x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]⇒(∀x)[x∈A ∧ f(x)=y]∪(∀x)[x∈∪B ∧ f(x)=y]⇒y∈f(A)∪y∈f(B)∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)（2）y∈f(A∩B)⇒(∀x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]⇒(∃x)[x∈A∧f(x)=y]∩(∃x)[x∈B∧f(x)=y]⇒y∈f(A)∩y∈f(B)∴f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)8.确定下例映射是否单射、满射或双射：（1）f1:N→R,f1(n)=ln n.（2）f2:N→N,f2(n)为不超过n的素数数目。
（3）f3:N⨯N→N,f3(n,n)=(n+1).（4）f4:R→R,f4(x)=x2+2x-15.（5）f5:Z→Z,f5(x)=1+2x3.（6）A是集合，f6:2A⨯2A→2A⨯2A,f6(x,y)=(x y,x y).（7）f7:R⨯R→R,f7(x,y)=x+y. F8:R⨯R→R,f8(x,y)=xy.解：(1)单射(2)满射，非单。
如f(5)=f(6)=3(3)非单,非满。
f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。
(4)非单,非满。
(5)单,非满。
如： 1+2x3=5无解。
(6)非单: ({a}⋃{b}, {a}⋂{b}) = ({a,b}⋃∅, {a,b}⋂∅)非满: (x ⋃ y,x ⋂ y)=({a}, {a,b})无解。
(7) f7: 非单,满，如： f(1,3)=f(2,2)f8: 非单,满，如： f(1,3)=f(3,1)9.设X是有限集合，f：X→X。
证明：(1)如果f是单射时，f必是双射。
(2)如果f是满射时，f必是双射。
证明：(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有任意t,s∈X,当t≠s时f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同；又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射∴f必是双射。
(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s)。
∴f必是双射。
10. 设f是有限集X上的一个函数，满足∀x∈X，f2（x）=x。
证明：f 是双射。
证明：设x,y 是有限集X 上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x= f 2(x)= f 2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知f 是双射。
11.设f:A →B ，g ：B →2A ，满足∀b ∈B ，g （b ）={x ∈A|f(x)=b}.证明：当f 为满射时g 为单射。
问g 为单射时，f 是否必是满射？ 证：1）对任意b 1、b 2∈B ，且b 1≠b 2。
∵f(x)是满射∴1122,12a a A f(a )b ,f(a )b ∃∈==、使得)b (g a ),b (g a )b (g a ),b (g a )x (g 12212211∉∉∈∈，且的定义，由 12211221 )b (g a ),b (g a b )f(a ,b )f(a ==∈∈，有否则，如为单射即与函数的定义相矛盾，g(x)), g(b )g(b 21≠∴。
不一定是满射并不能保证为单射时，对）而)x (f ,)b (g ,B b )(2∴≠∈∀φx g12. 设A 和B 都是有限集合，试确定A 到B 有多少个单射？多少个满射？多少个双射？ 解：设A 、B 中元素个数分别为：m 、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m) 满射个数为：n m,双射个数为：n!或m!13.设有函数f，g，h：R→R，这里f(x)=2x，g(x)=x2+x-1，h(x)=x-2。
写出f g，g f h，h h g。
解：f g=f(g(x)) =2x2+2x-2g f h= (g(f(h(x))) = 4(x-2)2+2(x-2)-1h h g= (h(h(g(x))) = x2+x-514. 设f，g，h都是集合A上的函数。
如果f=g，是否必有h f=h g 或f h=g h？解：（1）∵f=g，则对于所有x∈A，都有f(x)=g(x),所以，对于所有的x∈A，h(f(x))=h(g(x)),f(h(x))=g(h(x))即h。
f=h。
g（2）∵h。
f=h。
g则，h(f(x))=h(g(x)),当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h(x)≠h(y)时，f=g；当A中存在两个不同的元素x,y有h(x)=h(y)，即对于同一个元素z,当f(z)=x ,g(z)=y，则有h(f(z))=h(g(z))，而此种情况下f≠g综上，当h。
f=h。
g时，f不一定等于g15. 设f，g是实数集R上的函数，其中f(x)=x2+2，g(x)=2x-1。
确定f g和g f是否满射、单射或双射？解：f。
g=(2x-1)2 +2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，由题，f,g都是实数上的函数，则f。
g不是单射，不是满射，也不是双射；g。
f=2(x2+2)-1=2x2+3,函数图形为以Y坐标为对称轴的抛物线，f(x)=f(-x)，所以，g。
f不是单射，不是满射，也不是双射。
16.设f和g都是函数。
证明：(1) 当g f为单射时，f必为单射；(2) 当g f为满射时，g必为满射；(3) 当g f为双射时，g为满射，f为单射。
证明：设f: A→B, g: B→C。
（1）（反证法）设f不是单射，存在x1≠x2∈A,且f(x1)=f(x2)，即：g f(x1)= g(f(x1))= g(f(x2))= g f(x2),与g f为单射矛盾。
因此，f必为单射。
（2）对于任意z∈C，由于g f为满射，那么存在x∈A使得g f(x)=z，因此存在y=f(x)∈B,使得z=g(y)，因此g是满射。
（3）由（1）、（2）可得证。
17. 设A={1，2，3，4}。
π =π2，π2 π=π3，（1）找出一个A上的非单位置换的置换π，计算π以及π-1。
（2）若A上置换π满足π π=（1），称π为幂幺置换，求出A上的全部幂幺置换。
解：(提示，按照定义求解即可)（1）任定义π为：(2,1,3,4)（2）（略）18. 计算有限集合X可以定义出多少个函数f，使得f=f-1。
解：（略）19.证明下列集合A 和B 等势。
1) A=(0,1),B=(-2,2). 2) A=(-∞,+∞),B=(0,+∞).3) A=(0,1),B=(41，21).4) A=N, B= {(m, n) |m 、n ∈N ∧ m ≤n}. 证明：（思路：想办法构造一个双射函数即可） （1）f(x)=2tan(-x 2π4π) (2）（略）(3)f(x)=)63sin(21ππ+x(4)(略)20.设A ～B ，C ～D 。
证明：A ⨯C ～B ⨯D 。
证明：（略）21.证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ⨯B 也是可数集。
证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ×B 也是可数集。
证明：设A={a 1,a 2,…,a n ｝ B={b 1,b 2,…,b n ,…}令B i ={(a i ,b 1),(a i ,b 2),…,(a i ,b n ),…} (i≤n),则A ×B= , 因为B 为可数集，所以B i 为可数集。
A ×B 为有限个可数集的并集。
下面用归纳法证明有限个(m 个)可数集的并集为可数集。
1kii B =设C m ={c m1,c m2, …,c mn , …} 当m=2时，构造双射f:N →C 1∪C 2,N 1 2 3 4 5 6 … n -1 n … f(N) c 11 c 21 c 12 c 22 c 13 c 23 … c 1(n/2) c 2(n/2) … 所以2个可数集的并集为可数集。
假设m=k-1(k ≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D 。
则m=k 时，可以构造类似的双射g:N →D ∪C k ,所以为可数集。
因而有限个可数集的并集为可数集。
所以A ×B 是可数集。
补充：1. 设A 和B是两个有限集合，它们的元数都是n ，则B A →:σ是单射的充分必要条件是σ为满射证 必要性，当σ是单射时，)(A σ的元数是n ，而B B A ,)(⊆σ的元数也是n ，故B A =)(σ，因此B A →:σ是满射。