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2020年普通高等学校招生全国统一考试（三卷）
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合{
}11,7,5,3,2,1=A ，{}
153<<=x x B ，则B A 中元素的个数为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．复数i i z -=+⋅1)1(，则=z （）A ．i
-1B ．i
+1C ．i
-D ．i
3设一组样本数据n x x x ,,,21 的方差为0.01，则数据n x x x 10,,10,1021 的方差为（）
A ．0.01
B ．0.1
C ．1
D ．10
4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数)(t I （t 的单位：天）的Logisic 模型：)
53(23.01)(--+=
t e
K
t I ，其中K 为最大确诊病例数。
当K t I 95.0)(=*时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（319ln ≈3）（）
A ．60
B ．63
C ．66
D ．69
5．已知13
sin(sin =+
+πθθ，则=+6sin(π
θ（
）
A ．
21B ．
23C ．
3
2D ．
2
26．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点。
若1=⋅BC AC ，则点C 的轨迹为（）
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
7．设O 为坐标原点，直线2=x 与抛物线)0(2:2
>=p px y C 交于D ，E 两点，若DE OD ⊥，则C 的焦点坐标为（）
A ．)
0,41
(B ．)
0,2
1(C ．)
0,1(D ．)
0,2(8．点)1,0(-到直线)1(+=x k y 距离的最大值为(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
9．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(
)
A ．2
46+B ．2
44+C ．326+D ．3
24+10．设3
2
,3log ,2log 53=
==c b a 则（）
A ．b
c a <<B ．c
b a <<C ．a
c b <<D ．b a c <<11．在ABC ∆中，3
2
cos =C ，3,4==BC AC ，则=B tan （）
A ．5
B ．5
2C ．5
4D ．5
812．设函数x
x x f sin 1
sin )(+=，则（）
A ．)(x f 的最小值为2
B ．)(x f 的图像关于y 轴对称
C ．)(x f 的图像关于直线π=x 对称
D ．)(x f 的图像关于直线2
π
=
x 对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-≥+1020x y x y x .则y x z 23+=的最大值为__________．
14．设双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b y a x C 的一条渐近线为y 2=，则C 的离心率为__________．
15．设函数a x e x f x +=)(，若4
1
)1(=f ，则=a __________．
16．已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆谁内半径最大的球的体积为__________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设等比数列{}n a 满8,41321=-=+a a a a .（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n S 为数列{}n a 3log 的前n 项和，若31++=+m m m S S S ，求m .
18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）：
（3）若某天的空气质量等级为1或2.则称这天“空气质量好”：若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。
根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次400
≤人次400
>空气质量好空气质量不好
附：)
)()()(()
(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
，19．（12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别在棱11,BB DD 上，且112,2FB BF ED DE ==.证明:
（1）当BC AB =,AC EF ⊥：（2）证明：点1C 在平面AEF 内.
)
(2k K P ≥0.0500.0100.001k
3.841
6.635
10.828
20．（12分)已知函数2
3
)(k kx x x f +-=.（1）讨论)(x f 的单调性：
（2）若)(x f 有三个零点，求k 的取值范围。
(12分）已知椭圆)50(12522<<=+
m m y x 的离心率为4
15
，A ，B 分别为C 的左、右顶点。
（1）求C 的方程：
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6=x 上，且BQ BP BQ BP ⊥=,，求△APQ 的面积。
(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【极坐标与参数方程】（10分）
21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=2
2
322t
t y t
t x （t 为参数，且1≠t ）
，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求AB ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
设1,0,,,==++∈acb c b a R c b a .（1）证明：0<++ca bc ab ；
（2）用{}c b a ,,max 表示c b a ,,的最大值，证明：{}34,,max ≥c b a .。