返回目录
第7讲 导数及其应用
核 心
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编] 设曲线 y＝ax－ln(x＋
知
1)在点(0，0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝________．
识
聚
焦
[答案] 3
[解析] y′＝a－x＋1 1，根据已知得，当 x＝0 时 y′＝2，代入 解得 a＝3.
返回目录
第7讲 导数及其应用
返回目录
第7讲 导数及其应用
—— 教师知识必备 ——
知识必备 导数及其应用
概念 与几 何意
义
概念
几何 意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)＝limΔx→0
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
f′(x0)为曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率，切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
＝2cos 2x，令 y′＝1，则 cos 2x＝12，解得 x＝π6或56π，即曲线
考 y＝sin 2x－ 23上与直线 y＝x＋3 平行的切线的切点坐标为
点 考
π6，0或56π，－ 3.点π6，0到直线 y＝x＋3 的距离的平方为
向 探 究

3 2
2
＝（π＋7218）2；点56π，－
上，点(x2，y2)在直线 y＝x＋3 上，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2 的最小值为( )
A． 122π
B．（π＋7218）2
考 点
C．（π＋128）2
D．（π－3
3＋15）2 72
考
向
探
[答案] B
究
返回目录
第7讲 导数及其应用
[解析] 由题意可知，所求问题即为曲线 y＝sin 2x－ 23， x∈[0，π]上的点到直线 y＝x＋3 上的点的最小距离的平方．y′
知
识 聚
[答案] 4（1－e－2）
焦
[解析] ∵f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·ex－12.
令 f′（x）＝0 得，x1＝－ln 2，x2＝－2.从而当 x∈（－∞， －2）∪（－ln 2，＋∞）时，f′（x）>0；当 x∈（－2，－ln 2）时，f′（x）<0.故 f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞） 上单调递增，在（－2，－ln 2）上单调递减.当 x＝－2 时， 函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（－2）＝4（1－e－2）.
核 心 知
3．[2015·北京卷改编] 已知函数 f(x)＝ln11＋ －xx，则曲线 y
识
＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．
聚
焦
[答案] y＝2x
[解析] 因为 f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），所以 f′（x） ＝1＋1 x＋1－1 x，f′（0）＝2. 又因为 f（0）＝0，所以曲线 y＝f（x）在点（0，f（0）） 处的切线方程为 y＝2x.
返回目录
第7讲 导数及其应用
► 考点一 导数的几何意义
导数的概念 和运算
———概念的理解和应用、导数的计算
导数的几何意义———1.求切线方程；2.求参数值
考
题型：选择、填空
分值：5 分
难度：中等
点 考
热点：利用导数的几何意义求切线方程
向
探
究
返回目录
第7讲 导数及其应用
例 1 若点(x1，y1)在曲线 y＝sin 2x－ 23(x∈[0，π])
返回目录
第7讲 导数及其应用
核 5．[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的
心 切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________．
知
识 聚
[答案] 8
焦
[解析] 对函数 y＝x＋ln x 求导得 y′＝1＋1x，函数在点（1，
1）处的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝2，所以在点（1，1）处的切 线方程为 y＝2x－1，又该切线也为曲线 y＝ax2＋（a＋2）x
＋1 的切线，所以由yy＝＝2axx2－＋1（，a＋2）x＋1得 ax2＋ax＋2＝
0，此方程应有唯一解，所以 Δ＝a2－8a＝0，得 a＝8 或 a＝ 0（舍）.
返回目录
第7讲 导数及其应用
核
6．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编] 函数 f(x)＝4ex(x＋1)－x2－
心 4x 的极大值是________．
返回目录
第7讲 导数及其应用
核 心
4．[2014·湖北卷改编] 函数 f(x)＝lnxx的单调递增区间是
知
________．
识
聚
焦
[答案] （0，e）
[解析] f（x）的定义域为（0，＋∞），又 f′（x）＝1－xl2n x， 由 f′（x）>0 解得 0<x<e，所以函数 f（x）的单调递增区 间是（0，e）.
研究 函数
性质
单调 性
使 f′(x)＞0 的区间为单调递增区间；使 f′(x)＜0 的区间为单调递减区间
极值
f′(x0)＝0，且 f′(x)在 x0 附近左负(正)右正(负)，则 x0 为极小(大)值点
最值
区间[a，b]上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值为区间端点值和区间内的极大值 中的最大者，最小值为区间端点值和区间内的极小值中的最小者
基本 公式
导
数 及 运算 运算
其
法则
应
用
复合
函数
求导
c′＝0(c 为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈N*)；1x′＝－x12； (sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a＞0，且 a≠1)；
(ln x)′＝1x；(logax)′＝xln1 a(a＞0，且 a≠1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
核
心
知
识
聚 焦
专题七 导数及其应用
考 点 考 向 探 究
返回目录
第7讲 导数及其应用
核 1．[2015·天津卷] 已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)， 心 其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 知 的值为________．
识 聚 焦
[答案] 3 [解析] f′(x)＝aln x＋a.因为 f′(1)＝3，所以 a＝3.
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；[cf(x)]′＝cf′(x)； gf（（xx））′＝f′（x）g（[xg）（－x）g′（]2 x）f（x）(g(x)≠0)；g（1x）′＝－[gg（′（xx））]2
y＝[f(g(x))]′＝f′[g(x)]g′(x)，特别地，[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)